Cada tablero récord que tenemos está congelado en su sitio. No se puede progresar a base de pequeños retoques desde un tablero excelente hacia uno perfecto, y podemos demostrarlo.
Esta es la intuición con la que casi todo el mundo empieza: acercarse y luego
arreglar las últimas discordancias. Intercambiar un par de piezas, rotar unas
cuantas, y seguro que la puntuación sube poco a poco hasta 480.
Pues no. En cada tablero de cabeza que hemos probado, las últimas discordancias
están bloqueadas. Mueve cualquier cosa en el entorno y la puntuación se mantiene
igual o baja. Los buenos tableros no son casi-soluciones a la espera de un
pulido; son puntos aislados sin ningún sitio mejor al que ir al lado.
Un tablero pequeño de verdad, perfecto. Intercambia cualquier par de piezas, o
deja que el motor pruebe todos los intercambios. Nada lo supera; eso es la
rigidez, en directo.
▶Interactivo: intercambia piezas y observa cómo la puntuación se niega a subirExplorar →
Antes de convocar a ningún solucionador, las comprobaciones más baratas se
hacen por fuerza bruta: probar cada pequeño movimiento que existe, y contar.
Aquí va una versión de bolsillo que cabe en la cabeza. El tablero 469 de la
comunidad y un tablero 466 conocido difieren en exactamente cuatro celdas:
las mismas cuatro piezas, cicladas una posición a lo largo de una franja de
la fila inferior. Enumera las 6.144 disposiciones de esas cuatro piezas en
esas cuatro celdas (24 permutaciones por 256 combinaciones de rotaciones): el
máximo es 469, alcanzado únicamente por la disposición del propio titular. El
tablero 466 es una de las 6.143 disposiciones peores. Dos buenos tableros
pueden estar a cuatro celdas de distancia sin ningún camino entre ellos, ni
por encima de ellos, a través de esas celdas.
Sube la escala. En uno de nuestros tableros de 459 (convención estricta de
cinco pistas; nuestras cifras quedan por debajo de las mejores de la
comunidad, mira la página de récords para el contexto),
se probó cada rotación no trivial de cada pieza: 768 rotaciones, cero
mejoras; cada rotación real baja estrictamente la puntuación. Los 32.640
intercambios de pares de piezas: cero mejoras. Las combinaciones de
intercambio más rotación: 47.164 de ellas, extraídas de una muestra de 5.000
pares sobre los 522.240 posibles, cero de nuevo; esa es una muestra grande,
no una enumeración completa. Hay además una razón analítica por la que una
rotación no puede ni siquiera ser neutra: una rotación de 180 grados deja el
recuento local de coincidencias sin cambios en todos los vecindarios posibles
solo si los colores superior e inferior de la pieza coinciden, y también sus
colores izquierdo y derecho, y cero de las 256 piezas tienen esa simetría
(ninguna es tampoco totalmente simétrica por rotación). Ninguna rotación sale
gratis jamás. La misma sonda barata, pasada por once de nuestros tableros
altos, puntuaciones de 454 a 459, da 8.448 pruebas de rotación simple y ni
una sola mejora.
En un tablero de 457 (convención de aristas concordantes), la enumeración se
llevó a todo movimiento que toque hasta cinco piezas: 1.024 giros de rotación
simple, 6.720 rotaciones de pares adyacentes, 20.240 transposiciones no
adyacentes, 32.796 3-ciclos sobre las 38 celdas adyacentes a discordancias,
982.200 4-ciclos y 28.480.440 5-ciclos. Unos 29,5 millones de movimientos,
cero mejoras, más dos barridos de ramificación y acotación (una búsqueda de
permutaciones sobre 38 celdas y un halo de radio 1 sobre 82 celdas) que
tampoco encontraron nada. Ese mismo tablero de 457 fue alcanzado 11 veces de
forma independiente por una búsqueda de reinicios calientes, idéntico byte a
byte cada vez: la búsqueda no orbita cerca de un buen tablero, colapsa sobre
un punto exacto y se queda ahí.
Hasta los movimientos diseñados para parecer gratis fracasan. Algunos pares
de piezas comparten tres de sus cuatro colores de arista, así que
intercambiarlas parece casi neutro. En el 469 de la comunidad se probaron los
114 intercambios simples de ese tipo: exactamente uno mantiene la puntuación
en 469 (y produce el único tablero gemelo conocido), 2 dan 468 y 111 dan
467. Los 6.441 intercambios dobles: ninguno alcanza 470, el mejor da 468. En
6.555 perturbaciones construidas precisamente para ser casi neutras en
puntuación, el conjunto de nivel 469 contiene exactamente dos tableros.
Los números se explican solos. A una puntuación de 459, una celda aporta de
media unas 3,6 aristas concordantes, mientras que una pieza aleatoria soltada
en un vecindario fijo espera solo unas 0,18 (aproximadamente cuatro aristas
por una probabilidad de uno entre 22 colores); un intercambio aleatorio
espera por tanto perder unas 6,8 aristas. Una cota probabilística holgada
limita la probabilidad de un intercambio de mejora a alrededor del 5 por
ciento; la frecuencia medida está por debajo de 3×10−5. Cada
colocación de un tablero de cabeza está coadaptada a sus vecinas mucho más
allá de lo que el azar por sí solo predeciría. Una nota de alcance: cada
censo aquí es exhaustivo dentro de su clase de movimientos pero corre sobre
un solo tablero (los censos de rotaciones e intercambios sobre un 459, la
enumeración de cinco piezas sobre un 457, el censo de casi gemelas sobre el
469); son las pruebas exactas de abajo las que los generalizan.
El resultado no se apoya en probar muchos intercambios y darse por vencido.
Proviene de una pregunta exacta planteada a un solucionador de programación
entera: tomar una región del tablero, liberar cada pieza que hay dentro y
encontrar la única mejor manera de rellenarla de nuevo. El solucionador explora
todo ese espacio local de forma exacta, no por muestreo.
La respuesta vuelve siempre igual: la mejor disposición es la que ya está ahí.
Lo demostramos región tras región, tablero tras tablero, y hasta un radio de
cuatro celdas; la región más grande cerrada con certificado tiene 79 celdas,
casi un tercio del tablero. Cada vez, no existe mejora alguna.
Una cautela aprendida por el camino: una re-resolución exacta en frío de una
región grande puede rendir de menos sin avisar. Al pedirle reconstruir desde
cero las tres últimas filas de un tablero fuerte (48 celdas), el solucionador
ni siquiera redescubrió la propia cola del tablero en el tiempo dado,
llegando a 68 aristas concordantes frente a las 72 del titular tras 201 s
(una sola ejecución). En ventanas grandes, "no se encontró nada mejor" puede
ser mera dificultad del solucionador, no una prueba. Un veredicto de rigidez
solo se acepta aquí cuando el solucionador parte del titular, de modo que
cualquier cosa mejor es estrictamente más fácil de encontrar, y aun así
certifica una brecha cero.
La pregunta exacta, enunciada con precisión. Alrededor de cada celda defectuosa
tomamos la región halo-r: toda celda a menos de r pasos. Liberamos todas
las piezas que contiene, mantenemos el resto del tablero fijo como frontera y
resolvemos un programa entero para el mejor relleno legal. Variables binarias
xc,p,θ∈{0,1} colocan la pieza p con rotación θ en la
celda c; restricciones de una-pieza-por-celda y una-celda-por-pieza lo
convierten en un problema de asignación; el objetivo maximiza las aristas
concordantes, contando la frontera fija. Una región de 64 celdas representa unas
18.700 variables binarias. La ramificación y acotación encuentra entonces o bien
un relleno estrictamente mejor, o bien prueba, con una cota dual, que no existe
ninguno. La definición que conviene retener: un tablero es localmente rígido
en radio r si, para cada componente conexa de sus celdas adyacentes a
discordancias, liberar todas las celdas a distancia como mucho r de ella y
resolver de forma exacta no aporta mejora alguna.
Nunca encuentra ninguno. Las pruebas, región por región. Estas ejecuciones MIP
provienen del cuaderno de investigación del proyecto (el artículo del 2026-05-16
citado en las fuentes); la tabla de abajo aún no se reejecuta bajo la cadena de
resultados validados de este sitio, de modo que sus tiempos de solucionador y sus
cotas duales no son verificables de forma independiente desde este repositorio,
a diferencia del resultado SAT sobre halo más abajo. La misma nota de
procedencia cubre cada censo, enumeración y escalada SAT añadidos a esta
página; la reproducción SAT de radio 4 es el único resultado consignado en
este repositorio:
Región
Tablero
Celdas
Tiempo del solucionador
Resultado
halo-2, por componente (×8)
3 cuencas (469, 459, 458)
2–34
segundos cada una
todos Δ = +0, probado
halo-1 conjunto
McGavin 469
37
895 s
Δ = +0, probado
halo-1 conjunto
Local 459
59
1800 s
Δ = +0, probado
halo-1 conjunto
tres 458 distintos
57, 62, 64
180 s cada uno
Δ = +0, probado
halo-1 por componente
un segundo 459, disjunto
52 + 4
~60 s
Δ = +0, probado
3 filas superiores (una banda, no un halo)
McGavin 469
48
70 s
Δ = +0, probado
halo-3, por componente
McGavin 469
42 + 47
929 s
Δ = +0, probado
halo-3, racimo más denso
un 458
79 + 19
1200 s + 0,2 s
Δ = +0, probado
halo-4, componente 0
McGavin 469
57
1200 s
Δ = +0, probado
En al menos seis tableros distintos y más de veinte regiones la respuesta es
invariante: el tablero titular es localmente MIP-óptimo, hasta el halo-4 para
el 469 de McGavin. Dos filas merecen comentario. La fila de las tres filas
superiores es una banda geométrica completa, no un halo: libera celdas
limpias junto a las rotas, así que descarta además los movimientos que
intercambiarían piezas entre celdas rotas y limpias dentro de la banda. Y la
región de 79 celdas, la más grande jamás cerrada aquí, está en un 458 y no en
el 469 porque la resolubilidad seguía la densidad de defectos, no el tamaño
bruto de la región: las regiones densas en defectos se cierran, las mayores
pero dispersas agotan el tiempo.
La única región que queda con una brecha, las cuatro filas superiores, 64
celdas, sigue dando un resultado sólido: una cota dual de 123 frente a los
116 del titular, de modo que ni siquiera el caso no cerrado puede superar el muro
por mucho (implica una cota a escala de tablero de ≤ 476).
No todas las resoluciones terminaron, y el registro conserva también esas. La
resolución conjunta halo-2 de 54 celdas sobre el 469 se quedó atascada en su
relajación raíz durante 55 minutos y fue detenida; la banda de las 5 filas
superiores (80 celdas) agotó el tiempo; en los tres 458, las dos componentes
grandes de halo-2 toparon con un límite de 120 s reportando +0 sin
certificado, lo que cuenta como "no se encontró mejora", no como probado. Una
fila inacabada más amplía la evidencia a otra convención de puntuación: a un
tablero de 460 jugado sin la restricción de pistas se le dio una resolución
conjunta halo-1 (42 celdas libres, libertad total de piezas) y una ejecución
de 900 segundos no encontró mejora pero dejó abierta una brecha dual del 9,5
por ciento; esa fila también es "nada encontrado dentro del presupuesto", no
"probado óptimo". Un solo tablero, una sola ejecución.
Tampoco es un tablero desafortunado aislado. Un segundo tablero de 459,
hallado por un camino de construcción completamente distinto, coincide con el
primero en solo 3 de 256 celdas, esencialmente las celdas de las pistas; los
dos tableros son estructuralmente disjuntos, y el segundo está también
probado rígido en halo-1 (dos componentes, 52 y 4 celdas, +0 probado en
alrededor de un minuto). En halo-2 su componente pequeña (7 celdas) se probó
+0 en 18 s; su componente grande (67 celdas) quedó sin decidir tras unos 13
minutos y sigue abierta. La conjetura que esto respalda, enunciada como tal:
el conjunto de nivel 459 es una unión disjunta de muchos puntos rígidos, y
superarlo exige una reorganización a escala de tablero o un punto de partida
distinto, nunca un arreglo local.
La insignia dice probado en lugar de conjeturado para las regiones
efectivamente cerradas; el enunciado general sobre todos los tableros sigue
siendo una conjetura, respaldada por cada región probada hasta la fecha.
El MIP libera una región y la rellena desde el conjunto completo de piezas.
Hay una clase de movimientos complementaria que no cubre: elegir k celdas y
probar todas las formas de permutar y re-rotar las piezas que ya están
ahí, con el resto del tablero congelado. Un álgebra de movimientos
distinta, y la misma respuesta.
En un tablero nuestro de 452 (convención estricta de cinco pistas, 2026-07):
k=1, exhaustivo sobre las 251 celdas libres, cero movimientos de mejora.
k=2, exhaustivo sobre los 31.375 pares fuera de pistas, cero. k=3 a 6,
unos 29.000 racimos muestreados (junto a defectos, por todo el tablero,
conexos y no conexos), cero; ese nivel es una muestra grande, no una
enumeración. Para k=7 y 8 el muestreo se ascendió a enumeración
verdadera: cada subconjunto conexo de 7 y 8 celdas de las celdas que tocan un
defecto, en dos tableros independientes, 849 subconjuntos en total (231 en el
452, 618 en un 451 estructuralmente ajeno que difiere de él en 249 de las 256
celdas), todos resueltos hasta el final, cero de mejora, cero tiempos
agotados; más los 7.845 subconjuntos conexos de 7 celdas a un paso de una
arista defectuosa, cero otra vez. Unos 60.000 movimientos de racimo
evaluados, y el mejor delta encontrado en cualquier parte es exactamente
cero.
Ese cero no es un detector roto. Como control positivo, un sabotaje
deliberado de dos piezas (452 rebajado a 447) fue reparado por la misma
maquinaria en un solo movimiento de 4 celdas, directo de vuelta a 452. Y la
búsqueda local voraz sobre esta clase de movimientos, lanzada desde tres
tableros de orígenes independientes (el 452, un gemelo de igual puntuación
que difiere en exactamente 2 celdas, y el 451 ajeno), tocó un punto fijo
inmediato en las 20 ejecuciones sembradas: mínimo, mediana y máximo
idénticos, cero escapes.
El detalle que escuece: el propio 452 nació de esta clase de movimientos.
Una co-rotación de dos piezas elevó un 451 que era rígido bajo todo
movimiento de pieza única. Existió un genuino movimiento correlacionado de
dos cuerpos; una vez tomado, no queda ningún movimiento correlacionado de
tamaño hasta 8 cerca de los defectos. El radio de rigidez crece a medida que
el tablero mejora.
Cambiar la geometría del conjunto liberado tampoco ayuda. Libera franjas de
filas contiguas en vez de manchas: 54 de 54 franjas de una fila a través de
las bandas de defectos de los dos tableros (anchos de 8 a 14, hasta 15 celdas
liberadas) certifican exactamente la puntuación del propio tablero en menos
de un segundo cada una, y 18 de 18 franjas de dos filas fuera de la peor
banda certifican la rigidez hasta 26 celdas. En la banda de defectos más
densa de cada tablero, las franjas más anchas (16 a 26 celdas) se vuelven
difíciles de certificar: tras escalar a 300 s y 3 semillas, 6 de 10 siguen
abiertas con brechas de cota de 2 a 6 aristas. Pero en las 30 ejecuciones de
escalada el solucionador nunca encontró disposición alguna mejor que la del
propio tablero. Eso es una brecha de certificación, no evidencia de una
mejora, y las franjas abiertas se registran como abiertas, no como probadas.
Las ventanas rectangulares cuentan la misma historia. En el 452, cuyas 28
aristas rotas se reparten en 22 concentradas en la banda inferior y 6
dispersas, cada ventana de hasta 18 celdas alrededor de cada racimo de
defectos (cuatro ventanas, de 9 a 18 celdas) se re-resuelve a un óptimo
certificado exactamente en el valor del propio tablero. Cada defecto está
forzado por piezas comprometidas en otra parte; ninguna ventana que
simplemente contenga el defecto puede arreglarlo.
Ni siquiera dejar que las piezas comercien a través de la frontera
bueno/malo mueve nada. En un tablero nuestro de 459 (estricto de cinco
pistas), las dos filas inferiores (32 celdas) certifican la optimalidad en
49 s. Una ventana de 46 celdas, y ventanas de 52 y 72 celdas que además
liberan de 6 a 10 celdas donantes dentro de la región perfecta, para que las
piezas puedan intercambiarse entre las partes limpias y las rotas, devuelven
todas el tablero idéntico: cero celdas movidas, ni siquiera un reacomodo lateral de
igual puntuación (150 a 180 s cada una, semilla única, así que estas ventanas
mayores cuentan como "ninguna mejora y ningún movimiento encontrados", no
como certificados). El mismo operador aplicado a un tablero más débil de 455
lo eleva en 2 hasta 457: demostrablemente mejora tableros que aún no están en
su punto fijo; el 459 ya lo está. Dentro de cada ventana, la relajación
lineal cree que hay unas 17 coincidencias más disponibles; la restricción de
cada-pieza-una-sola-vez las prohíbe todas. La restricción que muerde es qué
piezas deja libres el resto del tablero, nunca el tamaño de la ventana. La
dificultad es la distinción global, no la concordancia local.
Halos y ventanas son manchas. Prueba una geometría que cruce el tablero:
libera una fila entera de 16 celdas, restríngela a piezas no usadas en otra
parte del tablero y enumera los rellenos alternativos por programación
dinámica. En un tablero de 460 (discordancias todas en las filas 11 a 14) y
en el 469 de la comunidad (discordancias en las filas 0 a 4), el relleno
actual de cada fila es el mejor disponible, y varias filas no admiten
ninguna alternativa legal en absoluto: la cadena colocada es la única
manera de enhebrar esa fila a través del resto del tablero.
Los números. En el 460: las filas 1 a 10 son perfectas y admiten exactamente
una cadena cada una, la colocada; las filas 12 y 14 tienen cero cadenas
alternativas; la fila 13 tiene 176 alternativas, todas peores, la mejor de
ellas 10 aristas por debajo. En el 469: la fila 3 tiene cero alternativas;
las filas 2 y 4 tienen sus mejores alternativas 20 aristas por debajo; las
filas 5 a 14 son perfectas, con la original entre hasta unas 17.857 cadenas
legales y ninguna mejor. Liberando dos filas conjuntamente (32 celdas,
costura interna sin restricción): los pares (11,12), (12,13) y (13,14) del
460 dan de 0 a 4 cadenas alternativas en total, todas peores (12 a 16
aristas por debajo) o infactibles. Tres filas conjuntas (48 celdas): las
filas (11,12,13) y (12,13,14) dan cero cadenas alternativas. Estas filas no
son solo óptimas; a menudo están forzadas. Unicidad, no mera optimalidad.
Alcance: la enumeración es programación dinámica de haz (ancho de haz de
100.000 para una fila, de 5.000 a 50.000 para dos y tres filas), exhaustiva
en la práctica pero no certificada como las filas MIP; llamémosla
haz-exhaustiva. Dos tableros.
Un acompañante exacto sobre bandas: vacía por completo las 2 filas
inferiores (32 celdas) de un tablero de 460 y deja que una búsqueda exacta
por restricciones enumere cada relleno legal con las piezas liberadas.
Existen exactamente 32 rellenos alternativos, todos con 460 o menos. Vacía
las 4 filas inferiores (64 celdas): la única compleción que la búsqueda
exacta alcanza es el propio tablero original. Un solo tablero, solo estos dos
tamaños de banda; pero en cada banda que pudo cerrarse de forma exacta, la
puntuación actual es el techo verdadero.
Dónde viven las últimas discordancias, y por qué están atascadas#
En un tablero nuestro de 458, la anatomía del fallo está notablemente
concentrada. El anillo del borde es perfecto (60 de 60), las nueve filas
interiores superiores son perfectas, y las 22 discordancias (4
borde-interior, 18 interior-interior) viven todas en las cinco filas
inferiores, agrupadas en 10 minúsculos racimos disjuntos de 2,8 celdas de
media, el mayor de solo 5. Cada racimo parece trivialmente arreglable. Las
resoluciones exactas dicen lo contrario: rellenos por racimo, delta cero;
ampliaciones halo-1 y halo-2 hasta 16 celdas, delta cero; y la unión de las
28 celdas que tocan un defecto, resuelta conjuntamente a optimalidad probada
en 1,74 s, delta cero.
Este es el mecanismo de todo el muro en miniatura: la región de defectos
está en su óptimo exacto dadas las piezas que le dejaron. La parte superior
perfecta del tablero ha consumido un conjunto de piezas concreto, y ese
compromiso es lo que limita la parte inferior. Arreglar las últimas
discordancias exigiría descomprometer piezas de la región ya perfecta, un
gran movimiento entre regiones, no una reparación local. (Una relajación
lineal lee un techo de 478 para este borde; es un techo de relajación para
este borde en particular, no una afirmación sobre el óptimo verdadero.) Un
solo tablero, pero el patrón, defectos apretados en unos pocos racimos
minúsculos que los rellenos exactos no pueden arreglar, es exactamente lo que
la tabla de halos de arriba sigue encontrando en las demás cuencas.
Por qué nadie puede certificar el muro desde arriba#
Dos hechos coexisten en el tablero de 452 (estricto de cinco pistas), y su
tensión es el estado del arte actual. Hecho A: ningún movimiento local de
ningún tipo probado lo supera, y cuatro marcos independientes concuerdan
(movimientos de racimo, re-resoluciones de ventanas, un certificado exacto de
brecha cero de que el lote de piezas sobre sus celdas que tocan defectos está
colocado de forma óptima, y una sonda termodinámica que o bien se congela en
el titular o bien se funde hacia lo aleatorio, sin escape suave entre
medias). Hecho B: todo intento de acotar una región grande desde arriba
fracasa; las cotas son holgadas y no convergen. En la cola de tres filas del
tablero, 8 semillas de 20 minutos cada una devolvieron todas exactamente el
titular, ninguna encontró nunca nada mejor, mientras la cota superior del
solucionador subía de 79 (a 300 s) a 89 (a 1200 s), alejándose de los 72
del titular en vez de acercarse. Una cota de programación lineal sobre el
interior lee 478,5 de 480: vacía.
Dentro hay un cuento con moraleja. Una primera lectura de la ejecución de
300 s fue "una brecha de 7, margen hacia una puntuación mayor". La cacería de
8 semillas mostró que la brecha era un artefacto de una relajación no
convergente, no evidencia de un tablero mejor alcanzable. La razón por la que
las cotas siguen holgadas: la escasez que hace difícil este puzle es de
segundo orden, cuestión de qué pares de colores son conjuntamente escasos,
y las relajaciones de concordancia de primer orden, sobre las que se
construyen las cotas LP y de propagación, no pueden verla, por mucho tiempo
que corran.
Así que la rigidez local (probada) y la brecha global abierta no están en
tensión. El titular es un óptimo local profundo, y puede existir una
disposición mejor desconectada que ningún movimiento local alcanza; hoy
ninguna cota la descarta y ninguna búsqueda la encuentra. Cerrar cualquiera
de las dos direcciones de una sola brecha de región grande sería una
primicia: un relleno mejor sería un nuevo mejor tablero, y una cota empujada
hasta el titular sería el primer techo de puntuación local probado. La cota
dual de las cuatro filas superiores de arriba (123 frente a 116) es lo más
parecido a un progreso desde arriba, y sigue holgada por 7 aristas. Alcance:
el hecho A está probado en un tablero mediante varias lentes; el hecho B
lleva una dispersión de 8 semillas en su ejecución decisiva.
Ni siquiera se pueden recombinar los buenos tableros#
La rigidez sobrevive incluso cuando el conjunto de movimientos es "tomar
prestado de cada buen tablero jamás encontrado". Construye una optimización
en la que cada celda pueda tomar la pieza y rotación que cualquiera de 25 a
30 tableros distintos de alta puntuación coloca ahí, con
cada-pieza-una-sola-vez impuesto, y libera el tablero entero, las 256
celdas. El óptimo es exactamente el mejor tablero ya presente en el corpus,
nunca una mezcla que lo supere: 457 con las cinco pistas fijadas (convención
estricta; corpus de 25 tableros, resuelto en 24 s), y 459 sin imponer las
pistas (convención de aristas concordantes). Las versiones por región con
radios crecientes, 77, 127, 191 y 252 celdas libres, dan todas delta cero en
segundos hasta unos 30 s. Estos óptimos son certificados, por corpus; el
corpus es de 2026-05, cuando nuestros mejores eran 457 estricto y 459 en
aristas concordantes, ambos por debajo de las cifras de la comunidad entonces
y ahora (página de récords).
El corpus no anda escaso de opciones. Cada una de las 256 celdas tiene al
menos 2 opciones distintas entre los tableros, y una pieza típica aparece en
de 6 a 19 posiciones distintas por el corpus. La diversidad es rica; la
unicidad de las piezas la fragmenta. Los tableros de familias de esquinas
distintas no pueden mezclarse en absoluto, y añadir el 469 de la comunidad al
corpus hace que el optimizador simplemente elija ese tablero en bloque, a
469, en vez de mezclarlo con nada.
La lectura: la brecha por encima de los mejores tableros conocidos es una
brecha de descubrimiento, no de recombinación. La mejora no se esconde en
ninguna combinación de lo ya conocido; exige tableros fuera de todo el corpus
conocido.
Esto replantea toda la brecha hasta 480. La distancia entre el mejor tablero
conocido y una solución no es un montón de pequeñas correcciones a la espera de
ser encontradas. Si lo fuera, este tipo de búsqueda local las habría encontrado.
El obstáculo es que los buenos tableros se asientan en el fondo de sus propios
pequeños valles, y las paredes de esos valles son exactas, no aproximadas.
También indica lo que no va a funcionar. El pulido, la ascensión de colina y la
mayoría de las heurísticas de reparación local intentan subir la pendiente desde
un punto congelado. No hay pendiente que subir. Alcanzar una solución exige un
movimiento que reorganice una región grande de una sola vez, o un punto de
partida enteramente distinto, no un mejor pulido. Las pruebas conjuntas de
halo-1 lo hacen cuantitativo: cualquier operador de destrucción y reparación
cuyo alcance sea como mucho el halo, ventanas de hasta unas 30 celdas
alrededor de los defectos, está matemáticamente agotado en estos tableros. La
congelación no es "nuestra heurística es débil"; esa clase entera de
operadores está terminada.
Ni siquiera el mayor movimiento único que sabemos hacer escapa. En nuestro
tablero de 461 (estricto de cinco pistas; para situar esa cifra frente a los
récords de la comunidad, mira la página de récords), los
movimientos de ciclos enteros indescomponibles descritos en la página de los
sigma-ciclos se aplicaron atómicamente, cada
uno seguido de una re-resolución de ventana local para reparar las celdas
alteradas. Unos 4.000 movimientos de ese tipo: cero escapes, y la salida no
local más barata sigue perdiendo al menos un punto (mejor resultado 460, dos
celdas de diferencia). Esto solo descarta la variante de limpieza local; una
re-resolución compensatoria global no se probó. Pero un movimiento grande no
basta si su limpieza es local.
Una cosa más que la rigidez no significa: difícil de reconstruir. Fija las
primeras catorce filas del 469 de la comunidad y deja que una búsqueda de
reparación reconstruya el resto: 3 de 4 semillas vuelven a 469 (la cuarta se
queda en 454). Haz lo mismo con los prefijos de nuestros propios tableros
récord: ninguna semilla supera jamás 460. Una sonda pequeña (4 semillas,
reparaciones de 30 segundos por tablero), pero la forma es clara. El muro no
mide lo difícil que es reconstruir un tablero; dice a qué valle pertenece el
esqueleto del tablero. Un prefijo o admite una gran compleción o no la
admite, y ninguna suerte de semillas cambia cuál.
Fija las N filas superiores del tablero 469 de la comunidad y deja que la
búsqueda local complete el resto. La puntuación de compleción no es gradual
en N; es un acantilado con señuelos: N=1 da 400, N=2 da 382, N=4 da
401, N=8 da 418, N=12 da 450, N=13 da 455, y N=14 da 469, una
reconstrucción exacta, cero celdas de diferencia, con N=15 igual. Con 13
filas fijadas existe una compleción alternativa de las tres últimas filas,
con las mismas piezas de otra manera, que puntúa solo 455 y es en sí misma
una trampa: la concordancia local de colores admite varias compleciones y la
búsqueda no puede saber cuál se extiende. Acertar el 87 por ciento de un
récord no es "estar casi ahí". Son ejecuciones de compleción únicas por
punto, con presupuestos del orden de minutos, sin dispersión de semillas; lee
el umbral, no las puntuaciones individuales.
Dos notas completan el cuadro. El barrido prueba que la maquinaria de
compleción es capaz de alcanzar 469; el muro está en encontrar las
primeras aproximadamente 224 piezas de la estructura, no en debilidad alguna
del paso de pulido. Y la influencia no fluye en sentido contrario: una fila
superior sola, una entre al menos 5×108 filas superiores legales,
no determina casi nada. Cuatro preajustes de operadores de nuestra familia de
búsqueda local, crecidos desde una fila superior fijada, se atascan todos
entre 378 y 400; otras familias de búsqueda quedan sin probar, así que ese
negativo está acotado a nuestro buscador. Entretanto, 363 de nuestros
tableros de 455 o más usaron solo 47 filas superiores distintas: los buenos
tableros se agrupan por arriba mucho antes de que la parte de abajo quede
decidida.
Alguien topó con el mismo muro desde el lado del recocido#
La prueba MIP aborda el muro de forma analítica. En junio de 2026, otro
investigador se estrelló contra él de manera empírica. Trabajando el tablero
estricto de cinco pistas con un solucionador de recocido simulado en GPU (4096
réplicas en paralelo), benj39100 reportó dos cosas que se leen como una
reformulación de esta página. Primero, la mejor puntuación que una ejecución
podía alcanzar aumentaba con la distancia al mejor tablero actual: para subir
de 429 hacia 432, las perturbaciones ganadoras tenían que migrar cada vez más
lejos, porque cerca del titular no había ningún movimiento de mejora que
encontrar. Segundo, a lo largo de todos sus mejores tableros, las mismas unas
cuarenta y dos aristas rotas formaban un «núcleo duro» congelado que la búsqueda
local nunca tocaba, de modo que tuvieron que añadir un término explícito que
recompensaba forzar la apertura de ese núcleo. Un titular localmente congelado
sin gradiente cercano, y un pequeño conjunto bloqueado de defectos que nada local
va a mover: ese es el muro de rigidez, visto desde un método completamente
distinto.
Un tercer investigador llegó a la misma conclusión con una tercera herramienta.
William Millilaw, trabajando el techo de forma independiente, realizó dos
pruebas. La primera fue una prueba de congelación: perturbar la raíz de un
tablero de cabeza, reoptimizar y ver qué celdas vuelven. En sus mejores tableros,
del 93 al 100 por ciento de las celdas regresaban exactamente a su sitio, un
núcleo congelado que la búsqueda no podía mover. La segunda fue una pregunta de
decisión para un solucionador SAT. Liberar las celdas alrededor de las
discordancias, exigir que cada arista liberada concuerde y preguntar si alguna
disposición de esas piezas la satisface. Su solucionador respondió UNSAT.
Nosotros reprodujimos esa prueba SAT
sobre cinco tableros públicos, con nuestro propio codificador y un control
positivo para asegurarnos de que una región concordante vuelve satisfacible. En
los cuatro tableros récord de la comunidad, desde el 467 de Verhaard hasta el 470
de Blackwood, y el 464 de Riotte (el récord estricto de cinco pistas), cada
resolución que termina es UNSAT hasta un halo de radio 4 en el sentido de
Chebyshev (esta reproducción mide la región liberada por radio de Chebyshev,
mientras que las escaleras SAT del cuaderno más abajo cuentan pasos de
Manhattan, así que las dos escalas de halo no son la misma métrica): ningún
reordenamiento local de las propias piezas de un tablero récord cierra una sola
discordancia, incluso cuando la región liberada supera el centenar de celdas. Las
instancias de radio 4 son lo bastante grandes como para que algunas no terminen
dentro del límite de tiempo del solucionador; esas se registran como tiempos
agotados y se dejan abiertas, no se cuentan como probadas, de modo que la tabla
validada enuncia exactamente lo que se decidió. La programación entera optimiza y
acota; el recocido choca con el muro a mano; SAT decide y devuelve una
refutación. Tres métodos, una sola respuesta.
Una cuarta herramienta está de acuerdo. Un optimizador MaxSAT, una variante
de SAT que devuelve a la vez el mejor relleno y una prueba de su optimalidad,
se apuntó a subregiones de un tablero nuestro anterior de 454: fijar todo lo
que queda fuera de una región, liberar la región, pedir el mejor relleno
demostrable. Cada ventana k×k hasta 5×5 se probó óptima dentro de su
presupuesto de 60 s (las ventanas de 6×6 excedieron el presupuesto y quedan
registradas como no cerradas, no como probadas), y la zona de defectos entera
del tablero, 45 celdas que contienen sus 26 discordancias interiores, se
probó óptima en 83 s: esas 26 discordancias son lo mejor que esa región puede
hacer dado el resto del tablero. Ese 454 fue a su vez alcanzado byte a byte
desde 4 semillas aleatorias distintas, el mismo colapso sobre un único punto
que el 457 del censo de arriba: las ejecuciones independientes no solo llegan
a la misma puntuación, llegan exactamente al mismo tablero.
Empuja la pregunta SAT más lejos y la respuesta se vuelve más dramática.
Toma uno de nuestros tableros de 459 (cinco pistas impuestas), libera cada
celda a distancia como mucho 10 de sus discordancias, 218 de las 256 celdas
libres y solo 38 fijadas, y pregunta si alguna compleción alcanza un 480
completo. UNSAT, en 0,31 s. La escalera por el camino: los halos 0 a 5 todos
UNSAT en menos de 2 s cada uno; el halo 7, 173 libres y 83 fijadas, UNSAT en
0,17 s. Las 38 celdas aún fijadas en el halo 10 son esencialmente las dos
filas superiores más 3 de las 5 pistas. Así que las dos filas superiores de
este tablero son, por sí solas, demostrablemente incompatibles con cualquier
solución perfecta: todo 480 debe diferir de este tablero en algún punto de
esas 38 celdas. La rigidez la porta un fino esqueleto de la parte alta del
tablero, no los vecindarios de los defectos. En radio 15, con solo 4 celdas
fijadas, el solucionador agotó los 600 s; ese caso queda abierto. Un tablero
concreto; no se sabe si otros tableros de 459 comparten la misma rigidez de
la parte alta fijada.
Sus trabajos anteriores sobre la serpiente y la búsqueda local pusieron un número
al porqué. El mayor parche que cualquiera de sus operadores de reparación podía
reescribir en un movimiento era de unas 48 celdas, mientras que dos de los buenos
tableros conocidos, ambos cerca del techo, difieren en unas 225 celdas. Un
movimiento que solo puede tocar 48 celdas no puede cruzar una brecha de 225
celdas, así que ninguna secuencia de ellos alcanza una cuenca distinta. Buscó una
cadena de pequeños movimientos de mejora que abriera un túnel hacia la salida y no
encontró ninguna: cero mejoras a lo largo de veintiocho millones de combinaciones
de cuatro y cinco movimientos en la meseta. Es el mismo muro, enunciado como un
presupuesto. La reparación local reescribe demasiado poco a la vez para
abandonar el valle, y por eso escapar exige un movimiento que reorganice una
región grande de una sola vez, exactamente como concluye la sección de prueba de
arriba.
Todo lo anterior pregunta si un reordenamiento local puede cerrar una
discordancia. Hay una pregunta mucho mayor: conservando solo el anillo del
borde de un tablero, ¿alcanza alguna disposición de las 196 piezas
restantes un 480 perfecto? En nuestro tablero de 459 (convención de aristas
concordantes, pistas canónicas) la respuesta es una prueba de que no, a
todas las escalas. Liberar las 32 celdas en discordancia: UNSAT en 0,09 s
(14.000 variables, 81.000 cláusulas). Liberar todo lo que está a 5 pasos de
una discordancia, 140 celdas, más de la mitad del tablero: UNSAT en 1,56 s.
Liberar el interior entero, las 191 celdas interiores fuera de pistas,
conservando solo el anillo del borde de 60 piezas: UNSAT en 1,37 s (160.000
variables, 5,4 millones de cláusulas). Los peldaños intermedios, halo-1 con
70 celdas (0,33 s), halo-2 con 93 celdas (0,89 s), halo-3 con 109 celdas
(0,80 s), son todos UNSAT también. El solucionador es kissat, citado en las
fuentes.
Y no es la mala suerte de un solo tablero. Se probaron nueve configuraciones
distintas de anillo de borde, abarcando cuatro disposiciones de esquinas
diferentes: el borde del 469 de la comunidad, nuestros bordes récord de 459 y
458, un tablero de 435 derivado de propagación de creencias, y cinco bordes
parciales enumerados sistemáticamente. Cada una, sin excepción, es UNSAT para
480, en menos de 2 segundos cada vez. Lo más notable: el borde del 469 de la
comunidad, a 11 discordancias de la perfección, demostrablemente no puede
alojar ningún interior de 480: UNSAT en menos de 0,01 s. El codificador se
validó de ida y vuelta sobre pequeños puzles resolubles, donde resoluciones
frescas se decodifican en tableros perfectos verificados y fijar un borde
correcto devuelve SAT, la misma disciplina de control positivo que la
reproducción de arriba; los veredictos UNSAT son reales, no artefactos.
El borde abierto de este resultado es su mejor resumen. Solo existen nueve
configuraciones de borde en nuestro corpus, y un borde compatible con 480
existe con certeza: el puzle se construyó a partir de una solución.
Simplemente no es ninguno de los bordes que una búsqueda de clase récord haya
producido jamás. Pulir cerca de un récord no es solo lento; bajo el propio
borde de ese récord, llegar a 480 es demostrablemente imposible. Una solución
exige un borde distinto.
La página hasta aquí prueba el muro; esto es lo más parecido que tenemos a
una razón. Modela el conjunto de tableros con puntuación fija como un grafo
cuyas aristas son movimientos que tocan como mucho k celdas, y pregunta por
el menor k que lo conecta: el radio de conectividad. En instancias pequeñas
de emparejamiento de aristas donde cada tablero puede enumerarse de forma
exacta, emergen dos leyes. Primera, el radio es pequeño en el grueso del
espectro de puntuaciones y salta al tablero entero exactamente en la
puntuación máxima: en una instancia de 6 celdas, k vale de 2 a 4 celdas en
las puntuaciones interiores y 6, el tablero entero, en el máximo; en una
instancia de 9 celdas la razón k/N ronda de 0,22 a 0,44 en el interior y
0,78 en la cima. Segunda, la rigidez se enciende con la riqueza de colores:
barriendo la paleta en las instancias de 9 celdas, el soporte medio del
movimiento mínimo sube de 1,4 a 7,6 celdas cuando los colores pasan de 2 a
8, y la fracción de instancias cuyas soluciones perfectas necesitan un
movimiento de tablero completo para interconectarse sube de 0 al 70 por
ciento.
A escala de juguete hay un teorema, probado con un argumento de forzado y
verificado por enumeración exhaustiva: si el diseño de colores es lo bastante
rico como para que cada color de arista expuesto admita como mucho una ficha
legal durante un relleno, entonces dos soluciones perfectas distintas no
comparten ninguna celda, así que cualquier movimiento entre ellas debe
tocar cada celda. A una riqueza de colores comparable a la del puzle real,
cada instancia probada resultó rígida exactamente en ese sentido: cero celdas
compartidas entre cada par de soluciones perfectas.
Para el propio Eternity II esto es una conjetura, y la etiquetamos como tal.
Con 22 colores interiores, cada uno reutilizado entre unas 24 y 50 veces a
lo largo de 480 adyacencias interiores, el puzle real se asienta bien adentro
del régimen rígido, de modo que tableros casi perfectos distintos deberían
ser casi ortogonales (lo que encaja con la diferencia de 225 celdas
observada arriba entre buenos tableros) y ningún movimiento de tamaño
acotado debería conectar óptimos distintos. La condición de "como mucho una
ficha" no es estrictamente cierta en E2, así que la afirmación defendible es
"una gran fracción del tablero", no "demostrablemente las 256 celdas".
El corolario es la parte satisfactoria: la búsqueda local se congela
precisamente en las puntuaciones altas porque ahí es donde el grafo de
movimientos se desconecta. El interior del rango de puntuaciones se recorre
con facilidad, por eso llegar a los 450 y 460 es rutina; la cima es un
conjunto de puntos aislados, por eso el pulido muere ahí. Una teoría, las
dos mitades de la historia de esta página. (Las matemáticas son el círculo
de ideas de las bases de Markov y de Graver de la estadística algebraica;
mira las fuentes. Los únicos movimientos de cima baratos que la teoría
permitiría son simetrías globales, y este juego de piezas no tiene
esencialmente ninguna.)
Las pruebas usan programación entera sobre regiones de cada tablero; corren
varios minutos por región en un solucionador, así que no se reproducen en directo
aquí. Los tableros en sí van incluidos y son verificables en el visor.