Eternity II no es un puzzle que resulte ser difícil por casualidad. Es el
producto de una receta: una breve lista de reglas de diseño que, aplicadas en
conjunto, producen el puzzle de emparejamiento de aristas más difícil que un
número dado de piezas puede formar, garantizando al mismo tiempo que existe una
solución. Lo notable es que la receta no fue filtrada ni publicada por los
diseñadores. La comunidad la reconstruyó, ingrediente a ingrediente, en cuestión
de semanas tras el lanzamiento, en su mayor parte en un único mensaje de agosto
de 2007 firmado por Brendan Owen y titulado, muy apropiadamente, «Diseñar el
puzzle más difícil»
(msg 1947).
Esta página recorre esa receta: qué es cada regla, qué le cuesta a cualquiera que
intente resolver el puzzle y de dónde procede cada afirmación. La medición del
ingrediente más afilado (el número de colores situado exactamente sobre el pico
de dificultad) tiene su propia página; aquí
ocupa su lugar entre los demás.
El problema de diseño se planteó en la lista de correo seis años antes de que
nadie tuviera que resolverlo. En febrero de 2001, con Eternity I apenas frío y
Eternity II aún como rumor, guenter stertenbrink preguntó al grupo cómo se
diseñaría un puzzle con un premio de 5 M£ de modo que tuviera solo alrededor de
un 1 % de probabilidad de ser resuelto en diez años
(msg 15). Las respuestas
discutieron escalar una dificultad al estilo de Eternity I e incluso ocultar
problemas criptográficos en las aristas.
Esa es exactamente la cuerda floja que debe recorrer un puzzle con premio.
Hágalo demasiado fácil y el premio se pierde; eso es lo que le ocurrió a
Eternity I, que cayó en 2000 porque tenía muchísimas más soluciones de las que
su diseñador creía. Hágalo literalmente imposible y el concurso es un fraude. La
meta es un puzzle del que se puede demostrar que tiene una solución, situado de
tal manera que ninguna cantidad realista de cómputo la encuentre dentro de la
ventana del concurso. Los diseñadores de Eternity II habían visto morir a
Eternity I, y la receta que sigue se lee como una respuesta punto por punto.
La primera regla de la derivación de Owen: usar un tablero compacto, el cuadrado
16×16, en lugar de cualquier forma alargada o irregular
(msg 1947). Una forma compacta
maximiza la proporción de uniones interiores, donde la incertidumbre es mayor, y
no deja brazos estrechos ni pasillos que un solucionador pudiera agotar a bajo
coste y usar como punto de anclaje. Owen verificó después la consecuencia de
forma experimental: en diseños 16×16 comparables con paletas desequilibradas
siempre hay alguna región más barata de teselar primero (para un reparto 2/19,
empezar por el centro sale más de cien veces más barato que un barrido por
filas), pero con los parámetros reales de E2 no existe ninguna región así. El
diseño no tiene, en sus propias palabras, «ninguna zona débil por donde empezar
a teselar»
(msg 5263, comparación de diseños
msg 5243).
Cada una de las 256 piezas es única, y ninguna es simétrica por rotación
(msg 1947). En 2010 la comunidad
contabilizó el espacio de diseño para ver hasta qué punto esto es deliberado:
con 5 patrones de marco y 17 patrones interiores hay aproximadamente 21 000
diseños de pieza posibles, incluidas formas como aaaa, abab y aabb que se
repiten bajo rotación. El conjunto real las evita todas de forma ostensible
(msgs 8014–8034).
La consecuencia es la ausencia de regalos. Un par duplicado permitiría reescribir
cualquier solución intercambiando las dos piezas, duplicando gratis el número de
soluciones; una pieza con simetría de rotación colapsaría orientaciones y
encogería el espacio de decisión. Negar ambas cosas mantiene el número esperado
de soluciones fijado exactamente donde los diseñadores lo querían y entrega al
solucionador exactamente cero simetría que explotar: cada colocación es una
decisión plena e independiente entre 4 orientaciones de piezas distintas.
Hay una segunda razón, más discreta, para prohibir las piezas simétricas, y Owen
la midió. Una pieza simétrica no solo es estructuralmente redundante, sino que
además es más fácil de colocar, porque encaja en más contextos. Construyó un
conjunto de 289 piezas (las 17 formas con simetría de 90 grados, las 136 formas
con simetría de 180 grados y 136 piezas asimétricas aleatorias), teseló un
pequeño rectángulo de todas las maneras posibles y contó con qué frecuencia
aparecía cada pieza en el conjunto de los 759 millones de soluciones. Las piezas
asimétricas aparecían 2,08 veces más a menudo que las de simetría de 180
grados y 4,14 veces más a menudo que las de simetría de 90 grados
(msg 2076). Así que las piezas
simétricas son las difíciles de teselar, y un puzzle que las hubiera incluido
habría entregado al solucionador precisamente el asidero de teselabilidad
desigual que las frecuencias de color planas
están destinadas a eliminar. Prohibirlas mantiene cada pieza más o menos
igual de difícil de colocar, sin ninguna fácil que reservar para el final.
Los 22 colores se reparten en 17 colores interiores y 5 que solo aparecen en las
uniones entre piezas de borde, nunca en el interior
(msg 1947). Esto convierte el marco
en su propio subpuzzle, cuya dificultad puede ajustarse de forma independiente
del interior, de modo que ninguna de las dos partes es un punto de entrada
blando: el mismo acto de equilibrio que la forma compacta, aplicado a la paleta.
Los cinco colores exclusivos del marco son además los raros, puestos en
cuarentena en el borde, donde su escasez no puede crear celdas interiores
sobrerrestringidas de las que la propagación se daría un festín. Esa firma
visible tiene su propia página.
Cuando Owen digitalizó su conjunto el día del lanzamiento, encontró la
distribución de colores de arista «tan plana como podía ser»: 24 aristas de cada
uno de los 5 colores de unión de borde, 48–50 de cada uno de los 17 colores
interiores (msg 1054).
Este único ingrediente es el que acabó con la estrategia de Eternity I.
Eternity I se resolvió en gran parte mediante el ordenamiento por dificultad de
las piezas: las teselabilidades de sus piezas variaban enormemente, de modo que
los solucionadores podían reservar las piezas más fáciles para el final y dejar
que las estadísticas los llevaran a buen puerto. Dos semanas después del
lanzamiento, Owen mostró que la distribución plana de E2 vuelve inútil ese
enfoque: cuando cada color es igual de común, cada pieza es más o menos igual de
teselable, y ninguna heurística de ordenamiento gana tracción
(msg 1667). Como lo expresó en
respuesta doc_s_smith, una de las personas que realmente resolvieron Eternity I,
la selección de la posición más restringida se convirtió en «nuestra única otra
esperanza» (msg 1722).
El último ingrediente fija los propios recuentos de colores. Owen razonó hacia
atrás a partir del requisito de «alrededor de una solución esperada»: imponer que
el número esperado de teselados interiores sea 1 y resolver para el número de
colores interiores da
I=(196!⋅4196)1/392≈17.14
Redondee a 17, añada los 5 colores de borde ajustados por separado, y tiene la
paleta exacta de Eternity II
(msg 1947). Owen respaldó la
derivación con simulaciones, defendió el 17+5 frente al diseño vecino 16+8 de la
misma familia de una solución esperada, ya que equilibra mejor la teselabilidad
de las piezas de borde e interiores y no deja ninguna entrada barata por el marco
(msg 2426), y lo completó con una
tabla de los parámetros más duros para cada tamaño de tablero, una receta general
de la que E2 es la fila 16×16
(msg 2164).
Una solución esperada no es un capricho estético arbitrario. Es el ajuste en el
que las soluciones son tan escasas como pueden serlo sin dejar de existir: el
pico de la transición de fase, el punto en el que se puede demostrar que la
búsqueda está en su peor momento. Esa medición, y los análisis publicados que más
tarde confirmaron el número de Owen, viven en la
página del pico de dificultad. El reverso
prueba que la perilla es real: un diseño 16×16 deliberadamente relajado que se
discutió en la lista tiene alrededor de 10^42 soluciones esperadas, aunque Owen
advirtió que incluso ese no es ningún paseo
(msg 4968).
Christopher Monckton inventó la franquicia Eternity y puso el premio, pero su
idea original para la secuela era un puzzle tridimensional de 1001 piezas. Owen
lo relató señalando que «el diseño real es de Alex y Oliver»
(msg 2697). Alex Selby y Oliver
Riordan son los dos matemáticos que ganaron Eternity I al descubrir que tenía
muchas más soluciones de las previstas; Monckton contrató a quienes lo habían
vencido. El grupo lo sospechó semanas antes del lanzamiento
(msg 716), lo vio confirmado en un
folleto oficial de Tomy (el inventor se reunió con los ganadores de E1 en un
programa matutino de televisión y les pidió que trabajaran en el desarrollo de
E2; msg 901), y finalmente lo
rastreó hasta un artículo de The Times: Selby y Riordan diseñaron el programa
generador del puzzle (msg 3373).
Esa procedencia explica la precisión de la receta. El único equipo del planeta
con experiencia de primera mano de cómo fracasa estadísticamente un puzzle con
premio fue pagado para asegurarse de que ese modo de fallo había desaparecido.
Cada ingrediente anterior (planitud, ausencia de duplicados, paletas
equilibradas, una solución esperada) cierra una puerta que el propio Selby y
Riordan habían atravesado en 2000.
El único relato detallado del proceso de generación que hay en el archivo es de
segunda mano y debe leerse como tal. Dave Clark, fundador del proyecto
distribuido eternity2.net, contó una larga conversación telefónica que mantuvo
con Monckton el 26 de julio de 2007: el puzzle se generó a partir de la entropía
tecleada al teclado por los jueces del concurso (unas 200 entradas), regenerado
hasta que los jueces quedaron satisfechos, luego impreso una sola vez y guardado
en la caja fuerte. Monckton le describió el generador de números aleatorios como
uno que usa «residuos gaussianos de potencias de números primos elegidos
adecuadamente», lo que Clark interpretó como la propia implementación de Selby y
Riordan (msg 4177). El hilo
consideró brevemente la idea de atacar un generador criptográficamente débil; una
respuesta señaló que si la construcción era de tipo Blum–Blum–Shub sería
demostrablemente difícil (msg 4180).
Nada salió de esa vía, pero el relato sigue siendo la mejor fuente casi primaria
del archivo sobre el verdadero origen de las 256 piezas.
Un puzzle diseñado para no ser resuelto nunca todavía tiene que demostrar que
puede serlo. El material de lanzamiento de Tomy declaraba que nadie, ni el
inventor ni los diseñadores, conoce la solución: el generador la imprimió «entre
páginas de texto aleatorio mientras todas las partes estaban fuera de la sala», y
la salida se selló ante testigos
(msg 901). Una vez que el concurso
terminó sin ganador, Owen dio la afirmación que aún se cita hoy: «Estoy seguro de
que Alex y Oliver crearon una solución cuando Chris les pagó para generar un
puzzle prácticamente imposible», y que yace oculta entre resmas de texto impreso
guardadas bajo llave en una caja fuerte, como seguro frente a cualquier
impugnación legal de la buena fe del concurso
(msg 8823).
Esa caja fuerte es el ingrediente final de la receta. La solución diseñada es lo
que permite al puzzle situarse en una solución esperada en lugar de en cero:
existencia garantizada por construcción, descubrimiento tarificado más allá del
alcance de cualquier concursante.
Cada atajo genérico al que podrías recurrir fue anticipado y tarificado hace casi
dos décadas. El ordenamiento por frecuencia de las piezas murió con la
distribución plana. Los trucos de simetría y de duplicados no tienen nada a lo
que aferrarse. No hay ninguna región blanda que teselar primero, ningún
desequilibrio de paleta que usar como palanca, y el número de colores se sitúa en
el ajuste exacto donde la búsqueda es peor. Los veinte años de récords de la
comunidad (467 en 2008, 470 en 2021, ninguno desde entonces) son la lectura
empírica de un diseño que funcionó precisamente como se pretendía. Eso no vuelve
el puzzle imposible: una solución existe de forma certificada, impresa y guardada
bajo llave. Significa que la brecha restante no es un problema de ajuste. Lo que
la cierre tendrá que ser una idea que los diseñadores no pudieran anticipar. Eso
es, al fin y al cabo, para lo que sirve este wiki.