Eternity II tiene dos reglas: los bordes deben coincidir y cada pieza se usa una sola vez. La primera es generosa. Toda la dificultad reside en la segunda.
determinista — se reproduce bit a bit
just research-entropy-area-lawOlvidemos por un momento la regla de usar cada pieza una sola vez y tratemos las 196 piezas interiores como piezas reutilizables. Al contar los bloques enteramente compatibles, se observa que crecen exponencialmente con el tamaño: no faltan formas localmente válidas de teselar. La gramática de coincidencia es rica, no restrictiva.
Esa riqueza se puede medir exactamente. Para una banda de ancho , la tasa de crecimiento por celda es una densidad de entropía , y la sucesión decrece hacia el verdadero valor bidimensional a medida que la banda se ensancha.
Ahora restablezcamos la regla de usar cada pieza una sola vez y preguntémonos con qué frecuencia un bloque compatible en colores, tomado al azar, emplea realmente piezas distintas. Llamémoslo . Se derrumba, y se derrumba según el área, no según el perímetro:
Un decaimiento por ley de área es brutal porque el área crece de forma cuadrática. La fracción de bloques realizables cae por debajo de uno entre mil en torno a las ochenta celdas.
La misma idea aplicada a las piezas reales, contadas exactamente. Varía el tamaño del bloque y observa cuántos bloques compatibles en colores sobreviven a la regla de usar cada pieza una sola vez.
Dos recuentos exactos sobre las piezas reales de Eternity II. Reutilizables: cuántos bloques n×n válidos en color existen si las piezas pueden repetirse — la riqueza de las reglas de encaje. Distintas: cuántos sobreviven a la regla de usar cada pieza una sola vez. Sube n y observa cómo se abre la brecha.
Incluso con piezas repetibles, cada celda añadida aporta menos libertad que la anterior — la gramática por sí sola se estrecha a medida que crecen los bloques.
La fracción realizable con piezas distintas se desploma con el ÁREA del parche, no con su perímetro — y el área crece como n². Hacia las ochenta celdas ya ha caído por debajo de uno entre mil: el tamaño de los movimientos más pequeños entre los mejores tableros conocidos. La dificultad no está en encajar los colores (esa gramática sigue siendo rica); está en la discreta regla de usar cada pieza una vez, cuyo coste se acumula sobre el área.
Ochenta celdas no es un número arbitrario. Es el tamaño de los movimientos más pequeños que separan los mejores tableros conocidos. La gramática de coincidencia se mantiene rica hasta más o menos esa escala, y luego la regla de distinción la colapsa. Así que el muro no está en la parte que parece difícil, la coincidencia de colores; está en la regla silenciosa de que cada pieza se usa una sola vez, cuyo coste crece con el área, sobre un tablero apenas lo bastante grande como para que muerda.
Ver por qué el basin-hopping es imposible.
La entropía por ancho tiene un límite bien definido. Unir lado a lado una banda de ancho y una de ancho solo añade una restricción de costura, de modo que los valores propios satisfacen
Al tomar logaritmos, se vuelve subaditiva, y el lema de Fekete da el límite como un ínfimo, que es exactamente la razón por la que la curva de arriba decrece:
La cota superior es la tasa puramente horizontal: ignorar las restricciones verticales solo añade bloques, de modo que
con el radio espectral de la matriz de compatibilidad de colores en horizontal. La positividad se cumple porque la gramática admite exponencialmente muchas cadenas, de modo que la densidad está estrictamente comprendida entre cero y 1,6645, medida en torno a 0,67.