Eternity II tiene dos reglas: los bordes deben coincidir y cada pieza se usa una sola vez. La primera es generosa. Toda la dificultad reside en la segunda.
The command reproduces exactly, in-repo: the horizontal bound lambdaH and the width-1 and width-2 entropy densities h(1), h(2) from the row-transfer eigenvalues; the interior block counts A(n) for n up to 4 and the distinct-piece counts B(n) for n up to 3 (B(2)=4059952 cross-checks the subgrid-placement-counts table); and the area-law exponent alpha near 0.044 fit over that range. The wider-strip points h(3), h(4) and the limit h_infinity near 0.67 are still carried from an offline sweep, and the rho(n) curve and the ~155-cell collapse point beyond n=3 are extrapolations of the in-repo fit, not exact counts.
Olvidemos por un momento la regla de usar cada pieza una sola vez y tratemos
las 196 piezas interiores como piezas reutilizables. Al contar los bloques
enteramente compatibles, se observa que crecen exponencialmente con el
tamaño: no faltan formas localmente válidas de teselar. La gramática de
coincidencia es rica, no restrictiva.
Esa riqueza se puede medir exactamente. Para una banda de ancho n, la tasa
de crecimiento por celda es una densidad de entropíah(n), y la sucesión
decrece hacia el verdadero valor bidimensional a medida que la banda se
ensancha.
Ahora restablezcamos la regla de usar cada pieza una sola vez y preguntémonos
con qué frecuencia un bloque n×n compatible en colores emplea
realmente piezas distintas. Llamémoslo ρ(n). Lo contamos de forma exacta,
en el repositorio: para cada tamaño de bloque interior contamos A(n), los
rellenos compatibles en colores cuando las piezas pueden repetirse, y B(n),
los que usan piezas distintas, y tomamos ρ(n)=B(n)/A(n). Se derrumba, y
se derrumba según el área, no según el perímetro:
ρ(n)≈exp(−αn2),α≈0.044.
El exponente se ajusta por mínimos cuadrados sobre el rango contado con
exactitud: A y B se calculan aquí para n hasta 3 (y A hasta 4), con
B(2)=4059952 coincidiendo con la tabla de referencia de sub-bloques del
repositorio. El exponente por bloque aún crece en ese pequeño rango (0,029 en
n=2, 0,048 en n=3), así que 0,044 es una estimación baja del valor para
bloques grandes. En n=4 el recuento reutilizable A(4) ya alcanza
6,3×1016, más allá de la enumeración distinta exacta en un tiempo
razonable; por eso la curva más allá de n=3 es una extrapolación del ajuste.
Un decaimiento por ley de área es brutal porque el área crece de forma
cuadrática. Por extrapolación, la fracción de bloques realizables cae por
debajo de uno entre mil hacia las 155 celdas. (Un estudio fuera del sitio
anterior reportaba un α≈0.085 más pronunciado y un umbral hacia
las 80 celdas; los recuentos exactos del repositorio sobre n≤3 dan las
cifras más suaves de aquí, y el exponente por bloque creciente es compatible con
que el valor fuera del sitio se alcance en bloques mayores.)
Loading chart…
Fracción de bloques compatibles en colores realizables con piezas distintas. El exponente es el ajuste por mínimos cuadrados del repositorio sobre los bloques contados con exactitud (n hasta 3); la curva más allá es una extrapolación.
La misma idea aplicada a las piezas reales, contadas exactamente. Varía el
tamaño del bloque y observa cuántos bloques compatibles en colores sobreviven
a la regla de usar cada pieza una sola vez.
▶Interactivo: colapso de la distinción y decaimiento de rhoExplorar →
Observa cómo muerde la escasez, bloque a bloque
Dos recuentos exactos sobre las piezas reales de Eternity II. Reutilizables: cuántos bloques n×n válidos en color existen si las piezas pueden repetirse, la riqueza de las reglas de encaje. Distintas: cuántos sobreviven a la regla de usar cada pieza una sola vez. Sube n y observa cómo se abre la brecha.
Tamaño de bloque:
bloques válidos en color (piezas repetibles)4.55×10^6
…que usan piezas distintas4.06×10^6
89%
sobreviven a la regla de distinción
libertad por celda (densidad de entropía)1.67
Incluso con piezas repetibles, cada celda añadida aporta menos libertad que la anterior; la gramática por sí sola se estrecha a medida que crecen los bloques.
La fracción realizable con piezas distintas se desploma con el ÁREA del parche, no con su perímetro, y el área crece como n². El ajuste en el repositorio sobre bloques hasta 3×3 da un exponente de ley de área cercano a 0,044; por extrapolación, la fracción cae por debajo de uno entre mil hacia las 155 celdas, el tamaño de los movimientos más pequeños entre los mejores tableros conocidos. La dificultad no está en encajar los colores (esa gramática sigue siendo rica); está en la discreta regla de usar cada pieza una vez, cuyo coste se acumula sobre el área.
Un colapso del orden de la centena de celdas está a la escala de los
movimientos más pequeños que separan los mejores tableros conocidos. La
gramática de coincidencia se mantiene rica, y luego la regla de distinción la
colapsa sobre el área. Así que el muro no está en la parte que parece difícil,
la coincidencia de colores; está en la regla silenciosa de que cada pieza se
usa una sola vez, cuyo coste crece con el área, sobre un tablero apenas lo
bastante grande como para que muerda.
La entropía por ancho tiene un límite bien definido. Unir lado a lado una
banda de ancho n1 y una de ancho n2 solo añade una restricción de
costura, de modo que los valores propios satisfacen
λn1+n2≤λn1λn2.
Al tomar logaritmos, logλn se vuelve subaditiva, y el lema de
Fekete da el límite como un ínfimo, que es exactamente la razón por la que la
curva de arriba decrece:
h∞=n→∞limnlog10λn=ninfnlog10λn.
La cota superior es la tasa puramente horizontal: ignorar las restricciones
verticales solo añade bloques, de modo que
0<h∞≤log10λH=1.6645,
con λH=46.18 el radio espectral de la matriz de compatibilidad de
colores en horizontal. La positividad se cumple porque la gramática admite
exponencialmente muchas cadenas, de modo que la densidad está estrictamente
comprendida entre cero y 1,6645, medida en torno a 0,67.
Lo que el teorema demuestra es que existe un límite positivo y que está acotado
superiormente por log10(46.18)=1.6645. Su valor concreto en torno a
0,67 proviene de un barrido fuera de línea. El exponente de ley de área
α≈0.044 se ajusta aquí a partir de los recuentos de bloques
exactos del repositorio sobre n≤3; su extrapolación a bloques mayores (y
el umbral de las ~155 celdas) va más allá del rango contado con exactitud. El
teorema no fija esos valores.