Eternity II a deux règles : les bords doivent coïncider, et chaque pièce ne sert qu'une fois. La première est généreuse. Toute la difficulté tient dans la seconde.
The command reproduces exactly, in-repo: the horizontal bound lambdaH and the width-1 and width-2 entropy densities h(1), h(2) from the row-transfer eigenvalues; the interior block counts A(n) for n up to 4 and the distinct-piece counts B(n) for n up to 3 (B(2)=4059952 cross-checks the subgrid-placement-counts table); and the area-law exponent alpha near 0.044 fit over that range. The wider-strip points h(3), h(4) and the limit h_infinity near 0.67 are still carried from an offline sweep, and the rho(n) curve and the ~155-cell collapse point beyond n=3 are extrapolations of the in-repo fit, not exact counts.
Oublions un instant la règle qui impose d'utiliser chaque pièce une seule
fois et traitons les 196 pièces intérieures comme des tuiles réutilisables.
En dénombrant les blocs entièrement compatibles, on constate qu'ils
croissent exponentiellement avec la taille : les façons localement valides
de paver ne manquent pas. La grammaire d'appariement est riche, et non
restrictive.
Cette richesse se mesure exactement. Pour une bande de largeur n, le taux
de croissance par cellule est une densité d'entropieh(n), et la suite
décroît vers la vraie valeur bidimensionnelle à mesure que la bande
s'élargit.
Rétablissons maintenant la règle qui impose d'utiliser chaque pièce une
seule fois, et demandons-nous à quelle fréquence un bloc n×n
compatible en couleurs emploie effectivement des pièces distinctes. Nous le
comptons exactement, dans le dépôt : pour chaque taille de bloc intérieur nous
comptons A(n), les remplissages compatibles en couleurs quand les pièces
peuvent se répéter, et B(n), ceux qui emploient des pièces distinctes, puis
prenons ρ(n)=B(n)/A(n). Elle s'effondre, et elle s'effondre selon
l'aire, non selon le périmètre :
ρ(n)≈exp(−αn2),α≈0.044.
L'exposant est ajusté par moindres carrés sur la plage comptée exactement :
A et B sont calculés ici pour n jusqu'à 3 (et A jusqu'à 4), avec
B(2)=4059952 concordant avec la table de référence sub-grille du dépôt.
L'exposant par bloc croît encore sur cette petite plage (0,029 à n=2, 0,048 à
n=3), si bien que 0,044 est une estimation basse de la valeur pour les grands
blocs. À n=4, le comptage réutilisable A(4) atteint déjà 6,3×1016,
au-delà de l'énumération distincte exacte en temps raisonnable ; la courbe
au-delà de n=3 est donc une extrapolation de l'ajustement.
Une décroissance en loi d'aire est brutale, car l'aire croît de façon
quadratique. Par extrapolation, la proportion de blocs réalisables passe sous le
seuil du millième aux alentours de 155 cellules. (Une étude hors site antérieure
rapportait un α≈0.085 plus raide et un seuil vers 80 cellules ;
les comptages exacts du dépôt sur n≤3 donnent les valeurs plus douces
présentées ici, l'exposant par bloc croissant restant compatible avec la valeur
hors site atteinte pour de plus grands blocs.)
Loading chart…
Proportion de blocs compatibles en couleurs réalisables avec des pièces distinctes. L'exposant est l'ajustement par moindres carrés du dépôt sur les blocs comptés exactement (n jusqu'à 3) ; la courbe au-delà est une extrapolation.
La même idée appliquée aux pièces réelles, dénombrées exactement. Faites
varier la taille du bloc et observez combien de blocs compatibles en
couleurs survivent à la règle d'usage unique des pièces.
▶Interactif : effondrement de la distinction et décroissance de rhoExplorer →
Voir la rareté mordre, bloc par bloc
Deux comptages exacts sur les vraies pièces d'Eternity II. Réutilisables : combien de blocs n×n valides en couleurs existent si les pièces peuvent se répéter, la richesse des règles d'accord. Distinctes : combien survivent à la règle « chaque pièce une fois ». Augmentez n et regardez l'écart se creuser.
Taille de bloc:
blocs valides en couleurs (pièces répétables)4.55×10^6
…utilisant des pièces distinctes4.06×10^6
89%
survivent à la règle de distinction
liberté par cellule (densité d'entropie)1.67
Même avec des pièces répétables, chaque cellule ajoutée apporte moins de liberté que la précédente ; la grammaire seule se resserre quand les blocs grandissent.
La fraction réalisable distincte s'effondre avec l'AIRE du patch, pas son périmètre, et l'aire croît en n². L'ajustement dans le dépôt sur les blocs jusqu'à 3×3 donne un exposant de loi d'aire proche de 0,044 ; par extrapolation, la fraction tombe sous un sur mille vers 155 cellules, la taille des plus petits mouvements entre les meilleurs plateaux connus. La difficulté n'est pas dans l'accord des couleurs (cette grammaire reste riche) ; elle est dans la règle discrète « une fois chacune », dont le coût se compose sur l'aire.
Un effondrement de l'ordre de la centaine de cellules est à l'échelle des plus
petits mouvements qui séparent les meilleurs blocs connus. La grammaire
d'appariement reste riche, puis la règle de distinction l'effondre sur l'aire.
Le mur ne se dresse donc pas là où le problème paraît difficile, dans
l'appariement des couleurs ; il se dresse dans la règle discrète selon laquelle
chaque pièce ne sert qu'une fois, dont le coût croît avec l'aire, sur un plateau
juste assez grand pour qu'elle morde.
L'entropie par largeur possède une limite bien définie. Accoler côte à côte
une bande de largeur n1 et une bande de largeur n2 n'ajoute qu'une
contrainte de couture, si bien que les valeurs propres vérifient
λn1+n2≤λn1λn2.
En passant au logarithme, logλn devient sous-additif, et le lemme
de Fekete donne la limite comme un infimum, ce qui explique précisément
pourquoi la courbe ci-dessus décroît :
h∞=n→∞limnlog10λn=ninfnlog10λn.
La borne supérieure est le taux purement horizontal : ignorer les
contraintes verticales ne fait qu'ajouter des blocs, donc
0<h∞≤log10λH=1.6645,
avec λH=46.18 le rayon spectral de la matrice de compatibilité
des couleurs à l'horizontale. La positivité tient parce que la grammaire
admet exponentiellement de nombreuses chaînes, si bien que la densité est
strictement comprise entre zéro et 1,6645, mesurée aux environs de 0,67.
Ce que le théorème démontre, c'est qu'une limite positive existe et qu'elle
est majorée par log10(46.18)=1.6645. Sa valeur précise aux environs de
0,67 provient d'un balayage hors ligne. L'exposant de loi d'aire
α≈0.044 est ajusté ici à partir des comptages de blocs exacts du
dépôt sur n≤3 ; son extrapolation aux plus grands blocs (et le seuil des
~155 cellules) dépasse la plage comptée exactement. Le théorème ne fixe pas ces
valeurs.