Eternity II a deux règles : les bords doivent coïncider, et chaque pièce ne sert qu'une fois. La première est généreuse. Toute la difficulté tient dans la seconde.
déterministe — se reproduit à l'octet près
just research-entropy-area-lawOublions un instant la règle qui impose d'utiliser chaque pièce une seule fois et traitons les 196 pièces intérieures comme des tuiles réutilisables. En dénombrant les blocs entièrement compatibles, on constate qu'ils croissent exponentiellement avec la taille : les façons localement valides de paver ne manquent pas. La grammaire d'appariement est riche, et non restrictive.
Cette richesse se mesure exactement. Pour une bande de largeur , le taux de croissance par cellule est une densité d'entropie , et la suite décroît vers la vraie valeur bidimensionnelle à mesure que la bande s'élargit.
Rétablissons maintenant la règle qui impose d'utiliser chaque pièce une seule fois, et demandons-nous à quelle fréquence un bloc compatible en couleurs, tiré au hasard, emploie effectivement des pièces distinctes. Notons cette proportion . Elle s'effondre, et elle s'effondre selon l'aire, non selon le périmètre :
Une décroissance en loi d'aire est brutale, car l'aire croît de façon quadratique. La proportion de blocs réalisables passe sous le seuil du millième aux alentours de quatre-vingts cellules.
La même idée appliquée aux pièces réelles, dénombrées exactement. Faites varier la taille du bloc et observez combien de blocs compatibles en couleurs survivent à la règle d'usage unique des pièces.
Deux comptages exacts sur les vraies pièces d'Eternity II. Réutilisables : combien de blocs n×n valides en couleurs existent si les pièces peuvent se répéter — la richesse des règles d'accord. Distinctes : combien survivent à la règle « chaque pièce une fois ». Augmentez n et regardez l'écart se creuser.
Même avec des pièces répétables, chaque cellule ajoutée apporte moins de liberté que la précédente — la grammaire seule se resserre quand les blocs grandissent.
La fraction réalisable distincte s'effondre avec l'AIRE du patch, pas son périmètre — et l'aire croît en n². Vers quatre-vingts cellules elle est tombée sous un sur mille : la taille des plus petits mouvements entre les meilleurs plateaux connus. La difficulté n'est pas dans l'accord des couleurs (cette grammaire reste riche) ; elle est dans la règle discrète « une fois chacune », dont le coût se compose sur l'aire.
Quatre-vingts cellules, ce n'est pas un chiffre arbitraire. C'est la taille des plus petits mouvements qui séparent les meilleurs blocs connus. La grammaire d'appariement reste riche jusqu'à cette échelle environ, puis la règle de distinction l'effondre. Le mur ne se dresse donc pas là où le problème paraît difficile, dans l'appariement des couleurs ; il se dresse dans la règle discrète selon laquelle chaque pièce ne sert qu'une fois, dont le coût croît avec l'aire, sur un plateau juste assez grand pour qu'elle morde.
Voir pourquoi le basin-hopping est impossible.
L'entropie par largeur possède une limite bien définie. Accoler côte à côte une bande de largeur et une bande de largeur n'ajoute qu'une contrainte de couture, si bien que les valeurs propres vérifient
En passant au logarithme, devient sous-additif, et le lemme de Fekete donne la limite comme un infimum - ce qui explique précisément pourquoi la courbe ci-dessus décroît :
La borne supérieure est le taux purement horizontal : ignorer les contraintes verticales ne fait qu'ajouter des blocs, donc
avec le rayon spectral de la matrice de compatibilité des couleurs à l'horizontale. La positivité tient parce que la grammaire admet exponentiellement de nombreuses chaînes, si bien que la densité est strictement comprise entre zéro et 1,6645, mesurée aux environs de 0,67.