Il existe une manière de regarder un plateau achevé qui emprunte tout son
vocabulaire aux codes correcteurs d'erreurs, et elle est réellement éclairante
dès qu'on sait exactement ce qu'elle affirme. Étalez la grille 16 sur 16,
traitez chaque tuile comme un symbole, et traitez chaque endroit où deux tuiles
voisines se rencontrent comme un contrôle qui réussit (les deux arêtes en
regard sont de la même couleur) ou échoue. Il y a 480 de ces jointures
intérieures. La liste des contrôles qui échouent est un syndrome, et une
solution complète est le seul plateau dont le syndrome est vide. Notez un
plateau selon la convention d'arêtes appariées employée
partout dans ce wiki (comptez les jointures intérieures qui s'apparient, sur
480), et l'arithmétique vient d'elle-même : le score vaut 480 moins le nombre de
contrôles en échec.
Cette seule ligne, score égale 480 moins le poids du syndrome, est tout le
moteur de la lentille par codes. Tout le reste de ce qu'elle dit du casse-tête
(distance minimale, décodeurs, ensembles bloquants) est bâti dessus. Il vaut
donc la peine de bien cerner ce qu'est réellement cette identité, et de séparer
la part de ce tableau qui est un fait réel et dénombrable sur le jeu officiel de
la part qui n'est qu'un changement d'habit.
Le partage franc, énoncé clairement parce que c'est là tout l'enjeu.
L'identité elle-même renomme plutôt qu'elle ne révèle. Le « poids du syndrome »
est le décompte des arêtes intérieures non appariées ; le scoreur appelle déjà
ce décompte ruptures et le définit déjà comme le score maximal moins le score
atteint. Donc « score égale 480 moins le poids du syndrome » n'est pas une
découverte sur Eternity II. C'est la définition du score écrite en langage de
codes. Ce n'est pas un reproche : un bon renommage peut rendre une structure
lisible. Cela signifie simplement que l'identité vous offre un point de vue, pas
un nombre.
Sous le vocabulaire, en revanche, se trouvent trois faits qui sont de vraies
propriétés du design publié à 256 pièces, chacun exactement dénombrable, chacun
vérifiable face à l'instance officielle :
- 480 contrôles. Une grille 16 sur 16 possède exactement 480 jointures
intérieures. C'est 2WH−W−H avec W=H=16, c'est la longueur de la
liste d'adjacences du scoreur lui-même, et c'est le score maximal du kit.
Trois chemins indépendants vers le même 480.
- Un code de permutation. Les 256 tuiles sont toutes distinctes à rotation
près, si bien qu'un plateau légal emploie chacune des 256 pièces exactement
une fois. En langage de codes, le mot de code n'est pas une chaîne libre de
symboles ; c'est une permutation, et cette contrainte est bien plus forte que
les seuls contrôles de jointure.
- Un code de bordure. Exactement cinq couleurs (étiquetées 1 à 5)
n'apparaissent que sur le cadre, jamais sur une tuile intérieure, et la
couleur de cadre grise repose sur zéro demi-arête intérieure. Le rebord est un
petit code séparé empilé sur les jointures.
Voilà ce qui donne à la lentille quelque chose de concret sur quoi s'appuyer. Le
théorème de parité, lu dans ce langage, est
un énoncé selon lequel ce code n'a pas de syndrome de poids un : on ne peut pas
faire échouer exactement un contrôle sur un plateau complet légal, si bien que
479 est un barreau vide et que le plancher de défaut est 2. La
loi d'aire et le
vol de pièce sont, dans ce langage, des énoncés sur
le code de permutation : c'est la règle « chaque pièce une seule fois », et non
l'appariement des couleurs, qui porte la difficulté.
Comme l'identité est porteuse, la reproduction la confirme directement au
travers du scoreur canonique du kit, le même scoreur excluant le rebord que le
site et chaque moteur utilisent, si bien qu'un contrôle en échec ici signifie la
même chose qu'une rupture partout ailleurs sur ce wiki.
Le contrôle part d'une vraie solution : un plateau 16 sur 16 généré et résolu
qui marque 480 sur 480 avec un syndrome vide. Il injecte ensuite un nombre
exactement connu de contrôles rompus en corrompant une demi-arête en regard à la
fois vers une couleur qu'aucune pièce ne porte, n'acceptant une corruption que
lorsqu'elle fait baisser le score d'exactement un. Ce garde-fou pas à pas est ce
qui fait du compte injecté une quantité connue plutôt qu'inférée : k ruptures
signifie exactement k contrôles en échec, chacun vérifié à part. Il relit
ensuite le score, le nombre de ruptures et un recomptage indépendant du
syndrome, et confirme que les trois concordent.
Exécuté sur cinq plateaux résolus et huit nombres de ruptures (quarante lignes
en tout, sur la convention d'arêtes appariées, sur 480), chaque ligne obéit à
l'identité :
| Ruptures injectées k | Score | Ruptures | Recomptage indépendant du syndrome | 480 moins k |
|---|
| 0 | 480 | 0 | 0 | 480 |
| 1 | 479 | 1 | 1 | 479 |
| 2 | 478 | 2 | 2 | 478 |
| 5 | 475 | 5 | 5 | 475 |
| 10 | 470 | 10 | 10 | 470 |
| 29 | 451 | 29 | 29 | 451 |
| 60 | 420 | 60 | 60 | 420 |
| 120 | 360 | 120 | 120 | 360 |
Chaque ligne satisfait score égale 480 moins k, ruptures égale k, et le
recomptage indépendant du syndrome égale k, sur les cinq graines. L'exécution
est déterministe et se termine en moins d'une seconde sur puce Apple Silicon ; le
JSON de résultats archivé est stable octet pour octet à la réexécution. La ligne
à k égale 29 est là exprès : elle affiche le score 451, qui est exactement le
couple score-et-ruptures que porte le plateau champion à bande inférieure conçu
de zéro par le papier (29 ruptures, 451 arêtes appariées). L'identité 480 moins
29 égale 451 tient face au couple score-et-ruptures que le papier rapporte pour
ce plateau champion. (Ce 451 est un chiffre
de carnet obtenu de zéro, bien en dessous des meilleurs plateaux complets de la
communauté, à 470 et 464, sur la page des records ; l'enjeu
ici est seulement que l'arithmétique de codes tombe dessus.)
| Fait | Attendu | Mesuré |
|---|
| Nombre de contrôles | 480 | 480 de trois façons : formule 2WH−W−H, liste d'adjacences énumérée, score maximal du kit |
| Code de permutation | 256 tuiles, chacune une fois | 256 pièces, toutes distinctes à rotation près |
| Code de bordure, couleurs de cadre | cinq, confinées au rebord | 5 couleurs de cadre (1 à 5), 17 couleurs intérieures |
| Code de bordure, gris | rebord extérieur seul | 0 demi-arête grise sur une pièce intérieure quelconque |
Les quatre sont recalculés à partir des données de l'instance plutôt que
supposés, et les quatre concordent.
Ce qu'elle apporte, c'est un modèle mental net et un endroit où loger les deux
contraintes dures. Les contrôles de jointure forment à eux seuls un code faible :
localement, un plateau presque parfait a quantité de motifs de couleurs à faible
désaccord à proximité, d'où le fait que les
désaccords se regroupent en une seule bande
plutôt qu'ils ne s'étalent. La force réside dans le code de permutation superposé
par-dessus, l'exigence que les symboles soient un vrai réarrangement de la
totalité des 256 pièces. Nommer cette couche, et la séparer des contrôles de
couleur, est une manière utile de dire où se situe la difficulté : non pas dans
l'appariement des couleurs, mais dans leur appariement alors que chaque pièce est
dépensée exactement une fois.
Ce qu'elle n'apporte pas, c'est un nombre nouveau. L'identité centrale est la
propre définition du score dans un autre alphabet, et le vocabulaire des
décodeurs et de la distance minimale décrit le même paysage que les pages
rigidité et
loi d'aire mesurent directement, sans ajouter
de mesure à elle. L'affirmation plus forte qu'une lecture par codes voudrait
faire, à savoir que la distance minimale du code de permutation est ce qui fixe
en place un plateau record précis, est une mesure propre à un plateau qui vit sur
un unique plateau champion privé que le kit public ne fournit pas, si bien
qu'elle n'est ici ni confirmée ni infirmée. Ce qui se reproduit exactement, c'est
l'échafaudage : 480 contrôles, un code de permutation à 256 pièces, un code de
bordure à cinq couleurs, et l'unique identité qui soutient tout le tableau.