Une grille résolue dissimule une loi comptable toute simple : chaque couleur que le bord tend vers l'intérieur, l'intérieur la lui rend aussitôt. La violer, c'est savoir sur-le-champ que la grille est fausse ; la respecter, en revanche, ne garantit rien.
Ne considérez que la couture entre l'anneau extérieur de pièces de bord et le
premier anneau de pièces intérieures. Chaque arête qui traverse cette couture
présente une couleur, comptée une fois côté bord et une fois côté intérieur.
Dans toute solution complète, les deux décomptes sont identiques : le
multiensemble des couleurs que le bord présente vers l'intérieur égale
exactement le multiensemble que l'intérieur présente vers l'extérieur.
Appelons déficit ce déséquilibre, Δ : la moitié du désaccord total
entre les deux décomptes. Une grille achevée et correcte a Δ=0. Les
quatre solutions complètes connues, sur quatre jeux de pièces différents, la
satisfont toutes exactement. Ainsi Δ>0 est un certificat qu'une grille
ne pourra jamais être complétée : une condition nécessaire, réelle et peu
coûteuse.
À travers la couture bord↔intérieur, les couleurs que le bord montre vers
l'intérieur et les couleurs que l'intérieur montre vers l'extérieur forment le
même multiensemble. En notant A[c] et B[c] les deux décomptes par couleur :
Une grille 8×8 résolue part à l'équilibre (Δ=0). Retirez une pièce de
bord et observez quelles couleurs se déséquilibrent, et le déficit grimper.
Essayez ensuite le bouton d'échange, et observez le piège.
▶Interactif : le déficit d'équilibre du bord NS-1Explorer →
Échanger deux pièces de bord laisse Δ à 0. L'échange déplace des couleurs
le long de la couture sans modifier l'un ou l'autre décompte ; l'invariant y est
donc aveugle. Pire, sur une quasi-solution, la plupart des erreurs restantes ne
se trouvent pas du tout sur la couture du bord. Elles siègent d'intérieur à
intérieur, là où NS-1 ne regarde jamais : sur les grilles de la classe 469, plus
de 85 % des arêtes non appariées lui sont invisibles.
C'est là toute la texture d'Eternity II en miniature. Une vérification aussi
propre soit-elle ne dit jamais que « assurément cassé », jamais « assurément
correct ». Le puzzle résiste à tout certificat de progrès à bon marché.
Oui, comme élagueur de fin de recherche. Une fois que le solveur a refermé
l'anneau de bord, imposer Δ=0 rejette 10 à 28 % des impasses profondes
au prix d'un seul passage sur les 56 arêtes de la couture. C'est
nécessaire-mais-lâche : cela écarte les mauvais états à peu de frais et laisse
intacte la partie difficile, l'intérieur.