Un tablero resuelto esconde una sencilla ley contable: cada color que el borde entrega al interior, el interior se lo devuelve al instante. Rómpela y sabrás de inmediato que el tablero es incorrecto; respetarla, en cambio, no garantiza nada.
Fíjate solo en la costura entre el anillo exterior de piezas de borde y el
primer anillo de piezas interiores. Cada arista que cruza esa costura muestra un
color, contado una vez desde el lado del borde y una vez desde el lado del
interior. En cualquier solución completa los dos recuentos son idénticos: el
multiconjunto de colores que el borde presenta hacia dentro iguala exactamente
al multiconjunto que el interior presenta hacia fuera.
Llamemos déficit a ese desequilibrio, Δ: la mitad del desajuste total
entre los dos recuentos. Un tablero terminado y correcto tiene Δ=0. Las
cuatro soluciones completas conocidas, sobre cuatro juegos de piezas distintos,
la satisfacen todas exactamente. Así, Δ>0 es un certificado de que un
tablero nunca podrá completarse: una condición necesaria, real y de bajo coste.
A través de la costura borde↔interior, los colores que el borde muestra hacia
dentro y los colores que el interior muestra hacia fuera forman el mismo
multiconjunto. Escribiendo A[c] y B[c] para los dos recuentos por color:
Un tablero 8×8 resuelto parte en equilibrio (Δ=0). Levanta una pieza de
borde y observa qué colores se desequilibran, y cómo trepa el déficit. Prueba
luego el botón de intercambio, y observa la trampa.
▶Interactivo: el déficit de equilibrio del borde NS-1Explorar →
Intercambiar dos piezas de borde deja Δ en 0. El intercambio mueve
colores a lo largo de la costura sin modificar ninguno de los dos recuentos, de
modo que el invariante es ciego a ello. Peor aún, en una casi-solución la mayor
parte de los errores restantes no están en la costura del borde en absoluto. Se
asientan de interior a interior, allí donde NS-1 nunca mira: en los tableros de
la clase 469, más del 85 % de las aristas no emparejadas le resultan invisibles.
Ahí está toda la textura de Eternity II en miniatura. Una comprobación por
limpia que sea nunca dice más que "definitivamente roto", jamás "definitivamente
correcto". El puzzle resiste todo certificado barato de progreso.
Sí, como podador de fin de búsqueda. Una vez que el solucionador ha cerrado el
anillo de borde, imponer Δ=0 rechaza entre el 10 y el 28 % de los
callejones sin salida profundos al precio de una sola pasada sobre las 56
aristas de la costura. Es necesario-pero-laxo: descarta los estados malos a bajo
coste y deja intacta la parte difícil, el interior.