El equilibrio del borde

Un tablero resuelto esconde una sencilla ley contable: cada color que el borde entrega al interior, el interior se lo devuelve al instante. Rómpela y sabrás de inmediato que el tablero es incorrecto; respetarla, en cambio, no garantiza nada.

Reproducirdeterminista — se reproduce bit a bitrelanza la búsqueda

Fíjate solo en la costura entre el anillo exterior de piezas de borde y el primer anillo de piezas interiores. Cada arista que cruza esa costura muestra un color, contado una vez desde el lado del borde y una vez desde el lado del interior. En cualquier solución completa los dos recuentos son idénticos: el multiconjunto de colores que el borde presenta hacia dentro iguala exactamente al multiconjunto que el interior presenta hacia fuera.

Llamemos déficit a ese desequilibrio, $\Delta$ : la mitad del desajuste total entre los dos recuentos. Un tablero terminado y correcto tiene $\Delta = 0$ . Las cuatro soluciones completas conocidas, sobre cuatro juegos de piezas distintos, la satisfacen todas exactamente. Así, $\Delta > 0$ es un certificado de que un tablero nunca podrá completarse: una condición necesaria, real y de bajo coste.

La ley, en una línea#

A través de la costura borde↔interior, los colores que el borde muestra hacia dentro y los colores que el interior muestra hacia fuera forman el mismo multiconjunto. Escribiendo $A[c]$ y $B[c]$ para los dos recuentos por color:

\Delta \;=\; \tfrac{1}{2} \sum_{c} \bigl|\, A[c] - B[c] \,\bigr| \;=\; 0 .

Verlo en un tablero real#

Un tablero 8×8 resuelto parte en equilibrio ( $\Delta = 0$ ). Levanta una pieza de borde y observa qué colores se desequilibran, y cómo trepa el déficit. Prueba luego el botón de intercambio, y observa la trampa.

Interactivo: el déficit de equilibrio del borde NS-1Explorar →

Cargando el motor…

La trampa, y por qué importa#

Intercambiar dos piezas de borde deja $\Delta$ en 0. El intercambio mueve colores a lo largo de la costura sin modificar ninguno de los dos recuentos, de modo que el invariante es ciego a ello. Peor aún, en una casi-solución la mayor parte de los errores restantes no están en la costura del borde en absoluto. Se asientan de interior a interior, allí donde NS-1 nunca mira. En los nueve tableros de la clase 469 del corpus, de las 99 aristas no emparejadas que quedan, el 86,9 % se asienta de interior a interior y ni una sola es de borde a borde; solo el 13,1 % restante cae en la costura que inspecciona NS-1. El invariante es ciego a la gran mayoría de lo que sigue mal.

Ahí está toda la textura de Eternity II en miniatura. Una comprobación por limpia que sea nunca dice más que "definitivamente roto", jamás "definitivamente correcto". El puzzle resiste todo certificado barato de progreso.

¿Es útil, entonces?#

Sí, como podador de fin de búsqueda. Una vez que el solucionador ha cerrado el anillo de borde, imponer $\Delta = 0$ rechaza una porción útil de los callejones sin salida profundos al precio de una sola pasada sobre las 56 aristas de la costura (cuán grande es esa porción está en cola para medición exacta, todavía no un banco fijado). Es necesario-pero-laxo: descarta los estados malos a bajo coste y deja intacta la parte difícil, el interior.

La ley, en una línea#

A través de la costura borde↔interior, los colores que el borde muestra hacia dentro y los colores que el interior muestra hacia fuera forman el mismo multiconjunto. Escribiendo

A[c]

B[c]

para los dos recuentos por color:

\Delta \;=\; \tfrac{1}{2} \sum_{c} \bigl|\, A[c] - B[c] \,\bigr| \;=\; 0 .

Verlo en un tablero real#

Un tablero 8×8 resuelto parte en equilibrio (

\Delta = 0

). Levanta una pieza de borde y observa qué colores se desequilibran, y cómo trepa el déficit. Prueba luego el botón de intercambio, y observa la trampa.

Interactivo: el déficit de equilibrio del borde NS-1Explorar →

Cargando el motor…

La trampa, y por qué importa#

Intercambiar dos piezas de borde deja

\Delta

en 0. El intercambio mueve colores a lo largo de la costura sin modificar ninguno de los dos recuentos, de modo que el invariante es ciego a ello. Peor aún, en una casi-solución la mayor parte de los errores restantes no están en la costura del borde en absoluto. Se asientan de interior a interior, allí donde NS-1 nunca mira. En los nueve tableros de la clase 469 del corpus, de las 99 aristas no emparejadas que quedan, el 86,9 % se asienta de interior a interior y ni una sola es de borde a borde; solo el 13,1 % restante cae en la costura que inspecciona NS-1. El invariante es ciego a la gran mayoría de lo que sigue mal.

¿Es útil, entonces?#

Sí, como podador de fin de búsqueda. Una vez que el solucionador ha cerrado el anillo de borde, imponer

\Delta = 0

rechaza una porción útil de los callejones sin salida profundos al precio de una sola pasada sobre las 56 aristas de la costura (cuán grande es esa porción está en cola para medición exacta, todavía no un banco fijado). Es necesario-pero-laxo: descarta los estados malos a bajo coste y deja intacta la parte difícil, el interior.

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