Cinco de los 22 colores de arista no aparecen en ninguna de las 196 piezas
interiores. En la numeración estándar son los colores 1 a 5: los colores de
marco. Cada uno ocupa exactamente 24 semiaristas, todas en las 60 piezas de
borde, con una reserva total de 120. La pureza del anillo es el siguiente
enunciado: los datos de las piezas no dejan a esa reserva ninguna elección.
Toda solución válida gasta las 120 semiaristas completas en las 120 ranuras
del anillo del borde orientadas hacia el propio anillo, sin holgura alguna.
El borde es un subpuzle autónomo, y su único contacto con el interior pasa
por 56 aristas orientadas hacia dentro.
120 = 120
demanda del anillo frente a reserva de marco, holgura nula
5 × 24
colores de marco × semiaristas cada uno
56
aristas que acoplan el anillo al interior
La prueba descansa en tres propiedades que se comprueban recorriendo una sola
vez las 256 piezas. Sin búsqueda, sin muestreo.
Primero, los colores de marco solo aparecen en piezas de borde. El
verificador no se fía de las etiquetas: deriva el conjunto de colores de
marco de los datos, como los colores con cero apariciones en piezas
interiores, y encuentra exactamente cinco.
Segundo, cada una de las 56 piezas de arista lleva exactamente dos ranuras de
color de marco y una ranura fuera de marco entre sus tres ranuras no nulas, y
la ranura fuera de marco queda opuesta a la ranura gris. Se cumple 56 de 56
veces.
Tercero, las dos ranuras no nulas de cada pieza de esquina son de color de
marco, y las dos ranuras grises son adyacentes. Se cumple 4 de 4 veces.
Para que conste, el resto de la paleta es tan plano como la parte del marco:
de los 17 colores interiores, 5 aparecen 48 veces y 12 aparecen 50 veces.
Brendan Owen midió exactamente esos recuentos la semana en que digitalizó su
juego (msg 1054), y la
separación estricta de las dos paletas fue una decisión de diseño
(msg 1947); la
página de la receta de diseño cuenta esa
historia.
Una pieza de arista se asienta en el contorno con su ranura gris hacia fuera,
de modo que la ranura opuesta a la gris mira al interior. Su vecina por ese
lado es una pieza interior que, por el primer hecho, no tiene ningún color de
marco que ofrecer. La ranura orientada hacia dentro no puede, por tanto,
llevar un color de marco. Por el segundo hecho, la pieza de arista posee
exactamente una ranura fuera de marco, y está justo opuesta a la gris, es
decir, en la posición interior. Las dos ranuras de marco quedan así forzadas
a las dos posiciones orientadas al anillo, a lo largo del contorno. Las
esquinas, por el tercer hecho, aportan sus dos ranuras no nulas al anillo.
Contemos. Demanda: 56×2+4×2=120 ranuras orientadas al
anillo. Reserva: 5×24=120 semiaristas de marco. Los dos números
coinciden exactamente. Cada semiarista de marco se consume en el anillo,
ninguna sobra, y ningún color fuera de marco aparece jamás en una junta del
anillo. Ese es el sentido de la holgura nula: el presupuesto de colores de
marco se gasta hasta la última semiarista.
La saturación admite una lectura limpia en teoría de grafos. Tómese un
multigrafo de 5 vértices, uno por color de marco, con una arista por pieza de
borde, uniendo sus dos colores orientados al anillo. Una disposición válida
del anillo del borde es exactamente un circuito euleriano de ese multigrafo:
recorrer el anillo es leer un circuito cerrado que usa cada arista-pieza una
vez, y a la inversa.
En la instancia real el multigrafo tiene 60 aristas, todos sus grados valen
24 y es conexo, así que existe un circuito euleriano, como debe ser, puesto
que existe una solución completa. De las 60 aristas, 14 son lazos (piezas que
muestran el mismo color de marco en sus dos ranuras de anillo), y las aristas
cubren los 15 pares de colores posibles, los 10 pares no ordenados más los 5
lazos.
El teorema viene con dos medidas de fuerza, una exacta y una muestreada.
La exacta es la ramificación del primer paso. Fíjese una pieza de borde
colocada; la siguiente pieza a lo largo del anillo debe casar con el color de
marco expuesto. De las piezas de borde, solo valen las incidentes a ese
color: según el color, 20, 21, 21, 22 o 22 de ellas, con media 21,2, frente a
59 candidatas en un orden sin restricción. El casado de colores, por sí solo,
divide el primer factor de ramificación por 2,78.
La muestreada es una estimación por muestreo secuencial por importancia sobre
1000 construcciones voraces del anillo con semilla. El log10 medio de la
probabilidad de un camino completado es -27,30 (desviación 0,64) con la
semilla 1 y -27,39 (desviación 0,62) con la semilla 2, frente a una
referencia uniforme de log10(1/59!)=−80,14. Léase así: la ley de
casado de colores concentra la masa de probabilidad en unos 53 órdenes de
magnitud respecto a un orden uniforme de las piezas de borde, y aun así deja
una rareza residual cercana a 10−27. Una marcha voraz guiada solo por
los colores casi nunca termina un anillo: 8,7 % de finalizaciones con la
semilla 1, 9,3 % (graine 2, exécutée pour vérifier la cohérence ; le JSON archivé couvre la graine 1) con la semilla 2, con la medición original en 9,4 %. Las 87
construcciones completadas de la semilla 1 se cerraron todas en circuito, con
los extremos casando, que es la estructura euleriana asomando en la muestra.
El recuento exacto de circuitos eulerianos no orientados del multigrafo real
del anillo está abierto. Durante la investigación original se intentó un
atajo de orientación única vía el teorema BEST, se detectó como infrarrecuento
con una comprobación de control sobre K5 y se retiró; no se reivindica ningún
recuento de circuitos en ninguna parte. La medida de finalización voraz
ignora además la alternancia geométrica esquinas/aristas del anillo físico:
mide la ley de casado de colores aislada, no la restricción completa del
anillo.
El teorema corta el puzle a lo largo del contorno. Hacia dentro, las 56
piezas de arista muestran cada una un color de la paleta interior de 17
colores, y esas 56 aristas son toda la interfaz del borde con las 196 piezas
interiores; la contabilidad a través de esa costura es el asunto de la
página del equilibrio del borde. La cara
visible de la misma separación, los cinco colores raros confinados en el
contorno, está en la
página de la geografía de los colores raros.
Y esta página es el relato detallado de una de las leyes del
barrido de teoremas, junto al resto de la
estructura exacta de la instancia.
Cada número de arriba se recalcula con el verificador versionado del tema de
reproducción enlazado en las fuentes: un único programa Rust que carga la
instancia oficial, deriva los colores de marco de los datos, verifica
exhaustivamente cada cláusula del teorema, construye el multigrafo del
anillo, ejecuta las dos medidas de Monte Carlo con semilla y emite un archivo
JSON (versionado como results/ring_purity.json) con todas las cifras aquí
citadas. Las cláusulas deterministas se reproducen byte a byte; las medidas
muestreadas concuerdan, dentro del error de muestreo, entre semillas
independientes.