Toma el truco del físico que vuelve solubles los defectos cristalinos e intenta convertir un empalme mal casado en una dislocación con una carga conservada. Fracasa de tres maneras: una altura escalar es ciega a las roturas, el conjunto de roturas forma cadenas abiertas y no bucles cerrados, y la corriente orientada por color no se conserva. Solo sobrevive un bit de paridad sin signo.
Hay una idea prestada que, si se sostuviera, cambiaría cómo se ataca este puzzle. En la física estadística de los cristales, un teselado lleva una función de altura: un número que vive en las caras y sube o baja una cantidad fija al cruzar cada arista. Cuando el teselado es perfecto, la altura es univaluada. Un defecto es un punto donde recorrer un pequeño bucle sumando los pasos no te devuelve al punto de partida; lo que sobra es una carga conservada (los físicos la llaman vector de Burgers), y los defectos solo pueden crearse o destruirse en pares que se cancelan. Ese último hecho es el premio. Es lo que permite el movimiento de gusano: una reescritura extendida por la red pero simple en el espacio de alturas, que desliza dos defectos uno hacia el otro hasta que se cancelan.
Puntúa un tablero completo de Eternity II contando sus empalmes internos casados sobre 480 (la convención de aristas casadas usada en todo este wiki; la página de récords sitúa en contexto los números que siguen). Un empalme mal casado es una rotura. Si las roturas fueran dislocaciones con una carga orientada conservada, existiría un movimiento no local y fundamentado que baja el número de roturas haciendo caminar un par de ellas una hacia la otra para aniquilarlas, justo el tipo de movimiento que la búsqueda por simple intercambio no puede ver. Esta página deja constancia de por qué esa esperanza no sobrevive al contacto con un tablero real. El fracaso no es cuestión de gusto. Son dos hechos concretos medibles en cualquier tablero, más un tercero que no necesita tablero alguno, y el verificador del tema de reproducción mide los dos primeros en los tableros récord registrados de este proyecto.
Toma primero la versión más ingenua: coloca un solo número en cada celda y lee el «paso» a través de un empalme como la diferencia de los dos números de las celdas. Recorre las cuatro celdas alrededor de una esquina interior de la cuadrícula y suma los cuatro pasos. El número de cada celda entra en el bucle una vez con un más y una vez con un menos, así que la suma es cero, siempre, para cualquier asignación de números y sin importar qué empalmes estén rotos. Una rotura vive en un empalme; nunca cambia la suma de bucle de ninguna esquina. Por tanto, una altura escalar por celda no puede detectar una rotura en absoluto. No es que las detecte mal; es estructuralmente sorda a ellas. Esta parte es una identidad de una línea, por lo que se enuncia aquí en vez de medirse.
El arreglo del físico consiste en dejar de usar los valores de las celdas y poner en cambio el paso en un empalme exactamente cuando ese empalme está roto. Entonces la suma de bucle alrededor de una esquina de la cuadrícula cuenta los empalmes rotos que tocan esa esquina, tomados módulo dos. La altura es univaluada solo si cada esquina toca un número par de roturas, es decir, solo si las roturas forman bucles cerrados sobre la cuadrícula de esquinas.
No lo hacen. En cada tablero medido, decenas de esquinas tocan un número impar de roturas. En la imagen cristalina, esas esquinas impares son núcleos de dislocación, los cabos sueltos de cadenas de roturas abiertas. Una altura no puede cerrarse alrededor de un cabo suelto, así que no puede existir globalmente. El recuento de estos núcleos es el primer número que informa el verificador, y sigue siendo grande incluso en los mejores tableros:
| Tablero (este proyecto) | Aristas casadas | Roturas | Núcleos de grado impar | Colores con corriente desequilibrada |
|---|---|---|---|---|
| mejor en aristas casadas, 463 | 463 | 17 | 22 | 10 |
| un tablero 460 | 460 | 20 | 22 | 9 |
| un tablero 458 | 458 | 22 | 34 | 15 |
| un tablero 460 anterior | 460 | 20 | 26 | 12 |
Los cuatro son scores en aristas casadas, revalidados por el verificador antes de medir la topología; un tablero cuyo valor revalidado difiere del registrado se rechaza de plano, de modo que los números de arriba describen siempre un tablero de calidad conocida y verificada. El mejor de ellos queda a solo 17 roturas de una hipotética solución y todavía lleva 22 núcleos de cadena abierta. La obstrucción no se ablanda a medida que un tablero se acerca a una solución, y ese es todo el punto: no existe ningún tablero cerca de la cima donde los bucles se cierren en silencio.
Vale la pena descartar una última escapatoria. Quizá resolver las roturas color por color rescate una carga conservada. Para un solo color, orienta cada empalme medio roto (uno donde exactamente un lado muestra ese color, lo que es necesariamente una rotura) como una flecha que apunta desde la celda portadora del color hacia su vecina no casada, y suma las flechas en un vector por color sobre todo el tablero. Una corriente realmente conservada sumaría cero. No lo hace. En cada tablero, varios colores tienen un total distinto de cero, listado en la última columna de arriba: entre 9 y 15 de los 22 colores llevan una corriente desequilibrada, según el tablero.
La razón es estructural, y explica por qué ningún ingenio lo remedia. En una solución real, cada arista de color está casada con una arista del mismo color, así que no hay empalmes medio rotos y la corriente de cada color es trivialmente cero. Un empalme medio roto es precisamente una media arista no casada, una cuyo compañero falta, de modo que su flecha no tiene contra qué cancelarse. La suma desequilibrada no es un desliz de contabilidad; es la firma del compañero que falta.
Solo a modo de orientación, una ejecución anterior e independiente del cuaderno midió los mismos recuentos de núcleos en tres tableros distintos (un tablero 451, uno 463 y uno 458) y obtuvo 28, 22 y 32 núcleos impares; los cuatro tableros aquí presentados quedan en 22, 22, 34 y 26, exactamente en el mismo régimen, coincidiendo el tablero 463 en 22 por ambos lados. Los colores y signos precisos que salen desequilibrados son etiquetas ligadas a cómo se numeró un tablero concreto y no tienen sentido propio; solo el recuento de colores desequilibrados, y el hecho de que nunca sea cero, es el contenido reproducido. Son los propios tableros de este proyecto, muy por debajo de los mejores de la comunidad, 470 bajo la convención de la pista central y 464 con las cinco pistas colocadas (de nuevo, la página de récords conserva ese contexto); se usan aquí porque la obstrucción debe verificarse en un tablero real de alta puntuación de la instancia oficial, no en un tablero pequeño generado donde sería o bien vacía o bien fuera de instancia.
Reúne los tres fracasos. Una altura escalar es sorda a las roturas; el conjunto de roturas son cadenas abiertas con decenas de cabos sueltos; la corriente orientada por color no se equilibra. Toda ruta hacia una altura de vector de Burgers está cerrada. Lo que queda es mucho más débil que una altura: el único invariante conservado del conjunto de roturas es una paridad por color sin signo, un bit por color (un elemento de un espacio de dimensión 22 sobre el cuerpo de dos elementos). Un bit registra si el recuento de empalmes medio rotos de un color es par o impar; no tiene dirección ni magnitud. Un bit no es la holonomía de ninguna función de altura, y ningún movimiento de gusano puede construirse sobre él.
Ese es el resultado negativo, y vale la pena enunciarlo con claridad porque la idea que mata es realmente atractiva: la imagen de dímeros y defectos queda cerrada por el lado de las roturas, y con ella el sueño de un movimiento no local limpio que camine los defectos hasta aniquilarlos. La intuición física que deja en pie es más esperanzadora y vive en otra parte: la salida correcta de un tablero localmente congelado (véase el muro de rigidez) es un movimiento de agrupamiento correlacionado, varias fichas giradas juntas, en vez de cualquier edición de un solo sitio. Ese relato compañero es un resultado distinto y no se mide aquí.
También encaja con la forma del puzzle tal como se ve en los tableros mismos. Las roturas no se dispersan; se amontonan en una sola banda y el grafo de las aristas mal casadas es siempre un bosque, sin cerrar nunca un bucle, que es el mismo hecho de cadena abierta que esta página demuestra imposible de cerrar. El bit de paridad superviviente es un primo de la ley de conteo detrás de por qué 479 es imposible: ambos son lo que se obtiene cuando un invariante orientado colapsa en uno sin signo sobre el cuerpo de dos elementos. La dirección es exactamente lo que esta instancia se niega a darte.
El verificador carga cada tablero registrado a través del analizador de tableros del kit de inicio, lo revalida con la regla canónica (y rechaza todo tablero cuyo valor revalidado difiera de su score registrado), y luego hace una pasada lineal para contar los núcleos de grado impar y las corrientes por color desequilibradas. Es determinista, no usa aleatoriedad, corre en bastante menos de un segundo en un solo núcleo, y su salida es estable al bit entre ejecuciones. El artículo, el código fuente Rust y la tabla de resultados están en GitHub, y el bloque de reproducción de esta página apunta al mismo tema. Dos reservas de alcance, que el hallazgo enuncia con claridad sobre sí mismo: esta es una reproducción cualitativa. Los recuentos exactos de núcleos y las sumas de corriente son funciones del tablero concreto, así que se leen como «en el mismo régimen que», nunca como una coincidencia al bit con una tabla anterior; y la obstrucción de la altura escalar de la primera sección es una identidad demostrada, afirmada en vez de recalculada.