Las cinco pistas son las únicas celdas del puzzle oficial cuyo contenido se
conoce con certeza. Mire el tablero un minuto y una idea se presenta sola:
conectarlas. Tender una cadena corta de piezas de pista a pista, convertir
cada cadena en una espina fija, y esperar que esas espinas restrinjan todo lo
que viene después. La idea me gustó lo bastante como para medirla, y la
medición es un negativo limpio por partida doble. Un recuento exacto muestra
que un pasillo de pista a pista admite unos dos mil billones de rellenos
distintos, así que comprometerse con uno no restringe casi nada; y en un A/B
controlado, cada brazo que tendía sus pasillos pronto terminó peor que el
mismo solucionador sin ellos, en todos los tamaños de tablero probados.
Las pistas ocupan las celdas 34, 45, 135, 210 y 221, es decir
(x, y) = (2, 2), (13, 2), (7, 8), (2, 13) y (13, 13): cuatro a dos celdas de
las esquinas, una justo a la izquierda del centro. Sus distancias de
Manhattan por pares van de 10 a 22. Ningún par de pistas está cerca de ser
adyacente: el puente más corto entre dos de ellas es una cadena de diez
colocaciones.
Lo que vale una colocación de cadena depende de cuántos lados tenga que
casar. Con n=196 piezas interiores y C=22 colores interiores
declarados, una celda que debe casar con k vecinos ya colocados tiene en
esperanza bk=4n/Ck candidatos legales: b1≈35,6,
b2≈1,62, b3≈0,074. Una colocación solo poda, en
esperanza, cuando bk cae por debajo de 1, lo que exige k≥3 lados
casados. Un pasillo de ancho 1 se construye por entero con colocaciones a
k=1: cada pieza nueva solo toca a la anterior y hereda unos 36 candidatos
legales en cada paso.
La tabla de ramificación es un modelo uniforme, así que el verificador
también cuenta de forma exacta sobre el juego de piezas real. El juego real
es, si acaso, más permisivo: el número de pares (pieza, rotación) que
presentan un color interior dado en un lado dado promedia 46,1 (de 43 a 49),
frente al 35,6 del modelo. Construya la matriz de transferencia T[a][b] que
cuenta las piezas interiores que muestran el color a en un lado y el color
b en el lado opuesto, elévela a la longitud del pasillo, y sus potencias
dan recuentos exactos de caminos. Para el pasillo de longitud 10 entre el par
de pistas más cercano, con los dos colores de los extremos fijados por las
pistas, ese recuento es 2,59×1015 caminos (la media sobre pares
de colores). Un camino puede reutilizar una pieza; aplicar la corrección de
distinción de campo medio ∏j=09(1−j/196)=0,792 deja
2,05×1015 rellenos con piezas todas distintas. Mi primera pasada
por este recuento, con un modelo de piezas algo más estricto, daba
1,9×1015; el verificador archivado se asienta en
2,05×1015, y la conclusión no se mueve entre ambos.
Un compromiso satisfacible de dos mil billones de maneras no es una
restricción en ningún sentido útil. Tenderlo excluye una fracción ínfima del
espacio de búsqueda, mientras retira diez piezas del fondo común a k=1,
justo donde la aritmética dice que la búsqueda no recupera nada. Conecte dos
o tres pares de pistas y la factura sube a entre 10 y 20 piezas gastadas
antes de que se haya rellenado una sola celda realmente restringida.
El recuento dice que el pasillo no aporta nada; hace falta un experimento
para mostrar que cuesta. La tanda original del estudio comparó tres brazos
que no difieren más que en la fase de pasillos: un control (pistas fijadas, y
después un relleno voraz de contacto máximo con reinicios), un brazo de
pasillo de ancho 1, y un brazo de cinta de ancho 2, cada uno tendiendo sus
rutas de pista a pista antes del relleno idéntico. Corrió sobre instancias
escaladas con geometría de pistas fiel, en tamaños N = 8 a 16, con 12
semillas emparejadas por celda y 20 segundos por ejecución en un solo núcleo.
| Tablero | Media del control | Pasillo ancho 1 | Cinta ancho 2 |
|---|
| 8×8 | 92,50 | -4,67 | -3,00 |
| 10×10 | 144,17 | -9,58 | -5,50 |
| 12×12 | 209,83 | -13,58 | -6,75 |
| 14×14 | 285,67 | -12,00 | -7,83 |
| 16×16 | 377,17 | -17,67 | -8,08 |
Las puntuaciones son aristas casadas, y cada delta enfrenta un brazo a su
propio control sobre semillas emparejadas. Cada brazo con pasillo perdió
frente a su control en todos los tamaños, con Wilcoxon emparejado
∣z∣≥2,80. El daño crece con los tableros, y con ellos los pasillos:
una pérdida media de 4,7 aristas en N = 8 se convierte en 17,7 en N = 16,
donde las dos distribuciones de puntuación se separan del todo (la peor
semilla del control marcó 373; la mejor del brazo de pasillo, 365). Y
ensanchar el pasillo a una cinta de 2 celdas, lo que permite que su segunda
fila llegue con 2 contactos en vez de 1, reduce el daño aproximadamente a la
mitad en todos los tamaños. Esa es exactamente la dependencia del ancho que
el recuento predice, y es lo que ata el mecanismo a la medición.
El negativo es preciso: tender pronto pasillos de pista a pista de ancho 1
(o 2) perjudica, y más pasillo perjudica más. La misma aritmética que los
condena señala también dónde la restricción es real: las celdas colocadas
con 2 o más contactos, ya que solo k≥3 poda de verdad y k=2 se
acerca. Hacer crecer regiones compactas ancladas en las pistas, donde la
mayoría de las celdas llegan con varios contactos, es un movimiento distinto
que este experimento no toca.
El resultado encaja además con lo que los estudios de pistas encuentran una
y otra vez. En un puzzle 16×16 emparentado,
la posición de las pistas importa más que su número
porque el valor de una pista está en alcanzar la parte del tablero donde la
búsqueda sufre; y en
el estudio de pistas del laboratorio,
las cinco pistas oficiales por sí solas nunca ayudaron a un backtracker
cronológico en los tableros probados. Un pasillo es la manera extrema de
malgastar ese regalo: cobra las cinco celdas fijas de inmediato, en la región
más barata de la búsqueda, y lo paga con el fondo de piezas. Como los
negativos del barrido de teoremas, este viene
con su precio: para que enlazar las pistas compense, sus celdas tendrían que
llegar con tres contactos, y un camino de ancho 1 no lo logra nunca.
El lado del recuento se reproduce de forma exacta: el verificador del
directorio del tema recalcula la geometría de las pistas, la tabla de
ramificación, la oferta de colores y los recuentos de pasillos por matriz
de transferencia desde el juego de piezas oficial en alrededor de un
segundo, y su salida está archivada en results/corridor_counts.json. La
tabla A/B es la medición original del estudio: la repetición empaquetada de
los tres brazos está especificada en el plan de reproducción del tema y sus
tablas aún no están archivadas, así que lea esos deltas como el registro de
una tanda, con la confirmación de una tanda fresca todavía pendiente.