Los mejores tableros públicos llevan años agrupándose en los 460 altos, y el
techo se mantiene en 470 de 480 (el historial de récords vive en la
página de récords). La pregunta de esta página es si
esos diez últimos puntos son un problema de ingeniería, algo que un
backtracker mejor o una heurística más fina acabará arañando, o una propiedad
de la propia instancia. Tratar el juego de piezas oficial como un miembro de
un ensamble aleatorio con solución plantada da una respuesta cuantitativa, y
la respuesta señala a la instancia: la reserva de tableros que una búsqueda
puede alcanzar de verdad se derrumba justo donde la comunidad se detuvo.
El argumento tiene dos capas con un estatus muy distinto, y las mantengo
separadas de principio a fin. Los números calculados sobre el juego de piezas
real son exactos, y el paso de cómputo detrás de esta página los reproduce
bit a bit. El cuadro estructural que los interpreta en 16×16 es una
conjetura, apoyada en la enumeración exhaustiva de instancias pequeñas
ajustadas al mismo parámetro, y queda etiquetada como tal más abajo.
Las 256 piezas se reparten en 4 esquinas, 56 piezas de borde y 196 piezas
interiores. Apartando las 64 semiaristas grises del contorno quedan 960
semiaristas de color, que se emparejan en las 480 adyacencias internas de un
tablero lleno. La contabilidad es estricta: 960=2×480, sin holgura
en ninguna parte. Las puntuaciones de esta página cuentan adyacencias
internas emparejadas sobre 480, la misma convención de aristas emparejadas
que el techo comunitario; nada aquí es una afirmación sobre la pista estricta
de cinco pistas fijas.
La economía de colores se divide después en dos subsistemas que nunca se
hablan. El anillo del marco, el ciclo de 60 juntas entre piezas de borde,
usa solo los colores 1 a 5, cada uno presente en exactamente 24 semiaristas;
la probabilidad de que dos semiaristas de marco extraídas uniformemente
coincidan es pf=5⋅(24/120)2=0,200. El subsistema interior
cubre las otras 420 juntas con los colores 6 a 22 (cinco colores con 48
semiaristas, doce con 50), lo que da pi≈0,0588, casi exactamente
1/17. Estas dos probabilidades sostienen todo el análisis.
Merece registrarse una comprobación exacta más: la bolsa real contiene cero
piezas que se repitan bajo rotación. Frente a un nulo aleatorio emparejado,
esto parece ser la única huella estadísticamente significativa de la pasada
de diseño; el lado nulo de esa comparación aún necesita su propio generador,
así que aquí solo se verifica el lado del juego real (exactamente cero).
El parámetro que posiciona a Eternity II dentro de su ensamble es la densidad
de restricciones: el número esperado de piezas que encajan en una celda
interior totalmente restringida, con sus cuatro vecinas ya colocadas. Con 196
piezas interiores, 4 rotaciones cada una y una probabilidad de colisión por
arista de 0,0589 para una arista de pieza interior aleatoria,
μ=196⋅4⋅0,05894≈0,0094.
Un hueco completamente rodeado admite alrededor de un candidato entre cien.
Eso está muy por debajo de uno, lo que sitúa la instancia en pleno régimen
rígido de los ensambles de satisfacción de restricciones con solución
plantada: el régimen donde la teoría dice que el conjunto de soluciones se
reduce a puntos aislados y bien separados, y donde los algoritmos locales se
atascan de forma demostrable antes de alcanzarlos
(Achlioptas & Coja-Oghlan 2008,
Gamarnik 2021). El número
en sí es una función exacta de los recuentos reales de colores; lo que el
régimen implica a este tamaño pertenece a la capa conjetural, retomada más
abajo.
La pieza central del lado de la instancia es un recuento de primer momento:
¿cuántas configuraciones de tablero no correlacionadas con la solución
plantada alcanzan una puntuación dada? El recuento base de colocaciones que
respetan las clases (esquinas en las esquinas, bordes en el contorno,
interiores dentro, rotaciones libres para las piezas interiores) es
Wgeom=4!⋅56!⋅196!⋅4196≈10559,9.
La puntuación de una configuración aleatoria de ese tipo es la suma de 60
indicadoras de Bernoulli(0,200) del marco y 420 indicadoras de
Bernoulli(0,0588) del interior, y una convolución exacta en espacio
logarítmico de esas 480 variables da el paisaje completo. Una configuración
uniformemente aleatoria puntúa 36,7±5,7.
| puntuación | configuraciones no correlacionadas a esa puntuación (log10) |
|---|
| 37 | 558,8 |
| 200 | 462,8 |
| 400 | 186,6 |
| 460 | 59,6 |
| 470 | 33,1 |
| 480 | +1,28 |
Destacan dos cosas. Primero, la reserva de tableros no correlacionados de
alta puntuación sigue siendo astronómica hasta sorprendentemente arriba:
unas 1060 configuraciones en la puntuación 460 y todavía unas 1033
en 470. Segundo, el recuento cruza 1 prácticamente en el propio 480: el
número esperado de colocaciones perfectas no correlacionadas con el tablero
plantado es 101,28≈19. El modelo de trabajo que esto tasa es
un conjunto de soluciones del orden de 10 a 20 tableros perfectos, casi
ortogonales entre sí y ortogonales al plantado, en la cima de una curva de
entropía que apenas supera el cero.
Todo lo anterior a esta línea es un cálculo exacto sobre el juego oficial:
los recuentos de clases, la economía de las 960 semiaristas, las dos
probabilidades de colisión, μ, Wgeom y cada fila de la tabla
del paisaje. El comando de reproducción de esta página lo regenera todo desde
el motor compartido en menos de un segundo, en results/landscape.json
dentro de la carpeta del tema.
Lo que el paisaje no dice es cómo están dispuestos esos raros tableros de
alta puntuación: si la masa entrópica conecta con los tableros perfectos o si
una brecha vacía los separa. A esa pregunta solo puedo responder con
exactitud en instancias pequeñas. La enumeración exhaustiva de tableros
plantados n×n con n hasta 7, con el número de colores ajustado
para igualar la densidad de restricciones, muestra una tendencia limpia: con
μ holgado, el histograma de solapamiento con el plantado del conjunto de
soluciones es continuo, y cuando μ baja hacia el 0,009 de E2 se vuelve
bimodal y luego se derrumba. En el punto igualado (n=5, 11 colores,
μ=0,009), la enumeración encuentra la solución plantada, un cúmulo
justo a su lado, una gran familia con solapamiento cero, y una banda
totalmente vacía en medio.
Dónde empieza la conjetura
Los enunciados en 16×16 (un conjunto de 10 a 20 tableros perfectos casi
ortogonales, una brecha de solapamiento vacía por debajo, y el muro de 470
como borde visible de esa brecha) son extrapolaciones de la tendencia de
las instancias pequeñas a lo largo del parámetro de densidad de
restricciones. Son conjetura, no medición: ningún cálculo factible los
comprueba directamente a tamaño real. La tabla del paisaje y cada número
del lado de la instancia de esta página son exactos; la estructura de la
brecha en 16×16 es la parte que conviene sostener como modelo de trabajo.
Junte la capa exacta y la capa conjetural, y la meseta comunitaria deja de
parecer un déficit de herramientas. Una heurística que escala el paisaje de
puntuación está extrayendo de la banda entrópica, y la banda es profunda: con
1033 configuraciones no correlacionadas aún disponibles en 470, llegar a
los 460 altos es barato en un sentido preciso, y la ingeniería de solvers
lleva años cosechando esa banda. Más allá, la reserva se adelgaza unos
treinta órdenes de magnitud en diez puntos de puntuación, y si la
extrapolación de la brecha de solapamiento se sostiene, no hay nada en medio
por donde trepar: los diez puntos que faltan son la anchura de una región
vacía que separa los últimos tableros entrópicos de un puñado de tableros
perfectos aislados. Es la propiedad de la brecha de solapamiento en su papel
de manual, una barrera topológica que una búsqueda local y estable no puede
cruzar, sea cual sea la calidad de la implementación.
Esta lectura concuerda con lo que medimos en otras partes de la wiki: el
muro de rigidez encuentra los tableros récord
congelados en óptimos locales aislados sin gradiente hacia fuera, exactamente
la sensación que debería dar el borde inferior de una brecha visto desde
abajo. También afina lo que "progresar" tendría que significar. Más velocidad
y mejor orden compran puntos entrópicos, y esos se agotan hacia 470 según la
tabla de arriba; lo que cruce la brecha tendrá que inyectar correlación con
una solución perfecta real en lugar de escalar la función de puntuación. Los
enunciados sobre la instancia que se sostienen a nivel de demostración, por
oposición al modelo de trabajo de esta página, se recogen en el
barrido de teoremas.