Il existe une idée empruntée qui, si elle tenait, changerait la façon d'attaquer
ce casse-tête. Dans la physique statistique des cristaux, un pavage porte une
fonction de hauteur : un nombre vivant sur les faces et qui monte ou descend
d'une quantité fixe à travers chaque arête. Quand le pavage est parfait, la
hauteur est univaluée. Un défaut est un point où parcourir une petite boucle en
additionnant les pas ne vous ramène pas au point de départ ; le reste est une
charge conservée (les physiciens l'appellent un vecteur de Burgers), et les
défauts ne peuvent être créés ou détruits que par paires qui s'annulent. C'est ce
dernier fait qui est le trésor. C'est lui qui autorise le mouvement de ver :
une réécriture étalée sur le réseau mais simple dans l'espace des hauteurs, qui
fait glisser deux défauts l'un vers l'autre jusqu'à ce qu'ils s'annulent.
Notez un plateau complet d'Eternity II en comptant ses joints internes appariés
sur 480 (la convention des arêtes appariées utilisée dans tout ce wiki ; la
page des records replace dans son contexte les nombres qui
suivent). Un joint dépareillé est une rupture. Si les ruptures étaient des
dislocations dotées d'une charge orientée conservée, il existerait un mouvement
non local et fondé qui abaisse le nombre de ruptures en faisant marcher une paire
d'entre elles l'une vers l'autre pour les annihiler, exactement le genre de
mouvement que la recherche par simple échange ne peut voir. Cette page consigne
pourquoi cet espoir ne survit pas au contact d'un vrai plateau. L'échec n'est pas
affaire de goût. Ce sont deux faits concrets mesurables sur n'importe quel
plateau, plus un troisième qui n'a besoin d'aucun plateau, et le vérificateur du
sujet de reproduction mesure les deux premiers sur les plateaux records
consignés de ce projet.
Prenons d'abord la version la plus naïve : placez un seul nombre sur chaque case
et lisez le « pas » à travers un joint comme la différence des deux nombres de
cases. Parcourez les quatre cases autour d'un coin intérieur de la grille et
additionnez les quatre pas. Le nombre de chaque case entre dans la boucle une
fois avec un plus et une fois avec un moins, donc la somme est zéro,
toujours, pour toute affectation de nombres et quelles que soient les ruptures.
Une rupture vit sur un joint ; elle ne change jamais la somme de boucle d'aucun
coin. Une hauteur scalaire par case ne peut donc pas détecter une rupture du
tout. Ce n'est pas qu'elle les détecte mal ; elle y est structurellement sourde.
Cette partie est une identité en une ligne, elle est donc énoncée ici plutôt que
mesurée.
La correction du physicien consiste à cesser d'utiliser les valeurs des cases et
à placer plutôt le pas sur un joint exactement quand ce joint est rompu.
Alors la somme de boucle autour d'un coin de la grille compte les joints rompus
touchant ce coin, pris modulo deux. La hauteur n'est univaluée que si chaque coin
touche un nombre pair de ruptures, c'est-à-dire seulement si les ruptures forment
des boucles fermées sur la grille des coins.
Ce n'est pas le cas. Sur chaque plateau mesuré, des dizaines de coins touchent un
nombre impair de ruptures. Dans l'image cristalline, ces coins impairs sont
des cœurs de dislocation, les bouts libres de chaînes de ruptures ouvertes.
Une hauteur ne peut pas se refermer autour d'un bout libre, elle ne peut donc pas
exister globalement. Le décompte de ces cœurs est le premier nombre rapporté par
le vérificateur, et il reste grand même sur les meilleurs plateaux :
| Plateau (ce projet) | Arêtes appariées | Ruptures | Cœurs de degré impair | Couleurs à courant déséquilibré |
|---|
| meilleur en arêtes appariées, 463 | 463 | 17 | 22 | 10 |
| un plateau 460 | 460 | 20 | 22 | 9 |
| un plateau 458 | 458 | 22 | 34 | 15 |
| un plateau 460 antérieur | 460 | 20 | 26 | 12 |
Les quatre sont des scores en arêtes appariées, revérifiés par le vérificateur
avant que la topologie ne soit mesurée ; un plateau dont la valeur revérifiée
diverge de celle consignée est refusé d'emblée, de sorte que les nombres
ci-dessus décrivent toujours un plateau de qualité connue et vérifiée. Le
meilleur d'entre eux ne se tient qu'à 17 ruptures d'une hypothétique solution et
porte encore 22 cœurs à chaînes ouvertes. L'obstruction ne s'adoucit pas à mesure
qu'un plateau approche d'une solution, et c'est là tout le propos : il n'existe
aucun plateau près du sommet où les boucles se referment tranquillement.
Une dernière échappatoire mérite d'être écartée. Peut-être que résoudre les
ruptures couleur par couleur sauve une charge conservée. Pour une seule couleur,
orientez chaque joint à demi rompu (un joint dont exactement un côté montre cette
couleur, ce qui est nécessairement une rupture) comme une flèche pointant de la
case porteuse de la couleur vers sa voisine non appariée, et additionnez les
flèches en un vecteur par couleur sur tout le plateau. Un courant réellement
conservé sommerait à zéro. Ce n'est pas le cas. Sur chaque plateau, plusieurs
couleurs ont un total non nul, listé dans la dernière colonne ci-dessus : entre 9
et 15 des 22 couleurs portent un courant déséquilibré, selon le plateau.
La raison est structurelle, et elle explique pourquoi aucune ingéniosité n'y
remédie. Sur une solution réelle, chaque arête colorée est appariée à une arête
de la même couleur, il n'y a donc pas de joint à demi rompu et le courant de
chaque couleur est trivialement nul. Un joint à demi rompu est précisément une
demi-arête non appariée, une demi-arête dont le partenaire manque, de sorte
que sa flèche n'a rien contre quoi s'annuler. La somme déséquilibrée n'est pas
une erreur de comptabilité ; c'est la signature du partenaire manquant.
À titre d'orientation seulement, une exécution antérieure et indépendante du
carnet a mesuré les mêmes décomptes de cœurs sur trois plateaux différents (un
plateau 451, un 463 et un 458) et a obtenu 28, 22 et 32 cœurs impairs ; les
quatre plateaux présentés ici se situent à 22, 22, 34 et 26, exactement dans
le même régime, le plateau 463 correspondant à 22 des deux côtés. Les couleurs et
signes précis qui ressortent déséquilibrés sont des étiquettes liées à la façon
dont un plateau particulier a été numéroté et n'ont aucun sens propre ; seul le
décompte des couleurs déséquilibrées, et le fait qu'il ne soit jamais nul, est le
contenu reproduit. Ce sont les propres plateaux de ce projet, bien en dessous des
meilleurs de la communauté, 470 sous la convention de l'indice central et 464
avec les cinq indices posés (là encore, la page des records
conserve ce contexte) ; ils sont utilisés ici parce que l'obstruction doit être
vérifiée sur un vrai plateau à haut score de l'instance officielle, non sur un
petit plateau généré où elle serait soit vide soit hors instance.
Réunissez les trois échecs. Une hauteur scalaire est sourde aux ruptures ;
l'ensemble des ruptures est fait de chaînes ouvertes aux dizaines de bouts libres
; le courant orienté par couleur ne s'équilibre pas. Toute route vers une hauteur
à vecteur de Burgers est fermée. Ce qui reste est bien plus faible qu'une hauteur
: le seul invariant conservé de l'ensemble des ruptures est une parité par
couleur non signée, un bit par couleur (un élément d'un espace de dimension 22
sur le corps à deux éléments). Un bit enregistre si le décompte de joints à demi
rompus d'une couleur est pair ou impair ; il n'a ni direction ni magnitude. Un
bit n'est la holonomie d'aucune fonction de hauteur, et aucun mouvement de ver ne
peut se construire dessus.
Voilà le résultat négatif, et il vaut la peine d'être énoncé clairement car
l'idée qu'il tue est réellement séduisante : l'image des dimères et défauts est
fermée du côté des ruptures, et avec elle le rêve d'un mouvement non local net
qui fait marcher les défauts jusqu'à l'annihilation. L'intuition physique qu'il
laisse debout est plus prometteuse et vit ailleurs : la bonne sortie d'un plateau
localement figé (voir le mur de rigidité) est un
mouvement d'amas corrélé, plusieurs tuiles tournées ensemble, plutôt qu'une
édition d'un seul site. Ce récit compagnon est un résultat distinct et n'est pas
mesuré ici.
Cela épouse aussi la forme du casse-tête telle qu'on la voit sur les plateaux
eux-mêmes. Les ruptures ne se dispersent pas ; elles
s'entassent dans une seule bande et le graphe
des arêtes dépareillées est toujours une forêt, ne fermant jamais de boucle, ce
qui est le même fait de chaîne ouverte que cette page démontre impossible à
refermer. Le bit de parité survivant est un cousin de la loi de comptage derrière
pourquoi 479 est impossible : les deux sont
ce que l'on obtient quand un invariant orienté s'effondre en un invariant non
signé sur le corps à deux éléments. La direction est exactement ce que cette
instance refuse de vous donner.
Le vérificateur charge chaque plateau consigné via l'analyseur de plateau du kit
de démarrage, le renote avec la règle canonique (et refuse tout plateau dont la
valeur renotée diverge de son score consigné), puis fait une passe linéaire pour
compter les cœurs de degré impair et les courants par couleur déséquilibrés. Il
est déterministe, n'utilise aucun aléa, s'exécute en bien moins d'une seconde sur
un seul cœur, et sa sortie est stable au bit près d'une exécution à l'autre.
L'article, le code source Rust et le tableau de résultats sont sur GitHub,
et le bloc de reproduction de cette page pointe vers le même sujet. Deux réserves
de portée, que la trouvaille énonce clairement à son propre sujet : ceci est une
reproduction qualitative. Les décomptes exacts de cœurs et les sommes de
courant sont des fonctions du plateau précis, ils se lisent donc comme « dans le
même régime que », jamais comme une correspondance au bit près avec un tableau
antérieur ; et l'obstruction de la hauteur scalaire de la première section est
une identité démontrée, affirmée plutôt que recalculée.