Chaque plateau record dont nous disposons est figé sur place. Impossible de progresser par petites retouches d'un excellent plateau vers un plateau parfait, et nous pouvons le démontrer.
Voici l'intuition par laquelle presque tout le monde commence : s'approcher,
puis nettoyer les derniers désaccords. Échanger deux ou trois pièces, en
faire pivoter quelques-unes, et le score va sûrement grimper jusqu'à 480.
Ce n'est pas le cas. Sur chaque plateau de tête que nous avons testé, les
derniers désaccords sont verrouillés. Déplacez quoi que ce soit dans le
voisinage et le score reste identique ou baisse. Les bons plateaux ne sont pas
des quasi-solutions attendant un polissage ; ce sont des points isolés qui
n'ont nulle part de meilleur où aller à côté.
Un vrai petit plateau parfait. Échangez n'importe quelles deux pièces, ou
laissez le moteur essayer tous les échanges. Rien ne le bat ; c'est la
rigidité, en direct.
▶Interactif : échangez des pièces et regardez le score refuser de monterExplorer →
Avant même de convoquer un solveur, les vérifications les moins chères se
font par force brute : essayer chaque petit mouvement existant, et compter.
Voici une version de poche, qui tient dans la tête. Le plateau 469 de la
communauté et un plateau 466 connu ne diffèrent que sur exactement quatre
cellules : les quatre mêmes pièces, décalées d'une position le long d'une
bande de la rangée du bas. Énumérez les 6 144 agencements de ces quatre pièces
dans ces quatre cellules (24 permutations fois 256 combinaisons de rotations) :
le maximum est 469, atteint uniquement par l'agencement du sortant lui-même.
Le plateau 466 est l'un des 6 143 agencements moins bons. Deux bons plateaux
peuvent n'être qu'à quatre cellules l'un de l'autre sans aucun chemin entre
eux, ni au-dessus d'eux, à travers ces cellules.
Passez à l'échelle. Sur l'un de nos plateaux à 459 (convention stricte à cinq
indices ; nos chiffres restent en dessous des meilleurs de la communauté, voir
la page des records pour le contexte), chaque rotation
non triviale de chaque pièce a été testée : 768 rotations, zéro amélioration ;
chaque vraie rotation fait strictement baisser le score. Les 32 640 échanges
de paires de pièces : zéro amélioration. Les combinaisons échange-plus-rotation :
47 164 d'entre elles, tirées d'un échantillon de 5 000 paires sur les 522 240
possibles, zéro encore ; celle-ci est un large échantillon, pas une
énumération complète. Il existe aussi une raison analytique pour laquelle une
rotation ne peut même jamais être neutre : une rotation de 180 degrés laisse
le compte local de concordances inchangé dans tous les voisinages possibles
seulement si les couleurs haut et bas de la pièce coïncident, ainsi que ses
couleurs gauche et droite, et zéro des 256 pièces possède cette symétrie
(aucune n'est non plus totalement symétrique par rotation). Aucune rotation
n'est jamais gratuite. La même sonde bon marché, passée sur onze de nos hauts
plateaux, scores 454 à 459, donne 8 448 tests de rotation simple et pas une
seule amélioration.
Sur un plateau à 457 (convention des arêtes concordantes), l'énumération a
été poussée à tout mouvement touchant jusqu'à cinq pièces : 1 024
basculements de rotation simple, 6 720 rotations de paires adjacentes,
20 240 transpositions non adjacentes, 32 796 3-cycles sur les 38 cellules
adjacentes aux désaccords, 982 200 4-cycles et 28 480 440 5-cycles. Environ
29,5 millions de mouvements, zéro amélioration, plus deux balayages par
séparation et évaluation (une recherche de permutation sur 38 cellules et un
halo de rayon 1 sur 82 cellules) qui n'ont rien trouvé non plus. Ce même
plateau à 457 a été atteint 11 fois de manière indépendante par une recherche
à redémarrages chauds, identique à l'octet près à chaque fois : la recherche
n'orbite pas autour d'un bon plateau, elle s'effondre sur un point exact et y
reste.
Même les mouvements conçus pour paraître gratuits échouent. Certaines paires
de pièces partagent trois de leurs quatre couleurs d'arêtes ; les échanger
semble presque neutre. Sur le 469 de la communauté, les 114 échanges simples
de ce type ont tous été essayés : exactement un conserve le score de 469 (et
produit le seul plateau jumeau connu), 2 donnent 468 et 111 donnent 467. Les
6 441 doubles échanges : aucun n'atteint 470, le meilleur donne 468. Sur
6 555 perturbations construites précisément pour être presque neutres en
score, l'ensemble de niveau 469 contient exactement deux plateaux.
Les chiffres s'expliquent d'eux-mêmes. À un score de 459, une cellule
contribue en moyenne environ 3,6 arêtes concordantes, alors qu'une pièce
aléatoire déposée dans un voisinage fixé n'en espère qu'environ 0,18 (à peu
près quatre arêtes fois une chance sur 22 couleurs) ; un échange aléatoire
s'attend donc à perdre environ 6,8 arêtes. Une borne probabiliste grossière
plafonne la probabilité d'un échange améliorant vers 5 pour cent ; la
fréquence mesurée est inférieure à 3×10−5. Chaque placement d'un
plateau de tête est co-adapté à ses voisins bien au-delà de ce que le hasard
seul prédirait. Une note de portée : chaque recensement ici est exhaustif
dans sa classe de mouvements mais porte sur un seul plateau (les recensements
de rotations et d'échanges sur un 459, l'énumération à cinq pièces sur un
457, le recensement des quasi-jumelles sur le 469) ; ce sont les preuves
exactes ci-dessous qui les généralisent.
Le résultat ne repose pas sur le fait d'essayer un grand nombre d'échanges puis
d'abandonner. Il provient d'une question exacte posée à un solveur de
programmation en nombres entiers : prendre une région du plateau, libérer chaque
pièce qui s'y trouve, et trouver l'unique meilleure façon de la remplir à
nouveau. Le solveur explore tout cet espace local de manière exacte, non par
échantillonnage.
La réponse revient toujours la même : le meilleur agencement est celui qui est
déjà là. Nous l'avons démontré région après région, plateau après plateau, et
jusqu'à un rayon de quatre cellules ; la plus grande région fermée par un
certificat compte 79 cellules, près d'un tiers du plateau. À chaque fois,
aucune amélioration n'existe.
Une prudence apprise en chemin : une re-résolution exacte à froid d'une
grande région peut sous-performer en silence. Sommé de reconstruire de zéro
les trois dernières rangées d'un plateau solide (48 cellules), le solveur n'a
même pas retrouvé la propre queue du plateau dans le temps imparti,
atteignant 68 arêtes concordantes contre les 72 du sortant après 201 s (une
seule exécution). Sur les grandes fenêtres, « rien trouvé de mieux » peut
n'être qu'une difficulté du solveur, pas une preuve. Un verdict de rigidité
n'est retenu ici que lorsque le solveur part du sortant, de sorte que tout
mieux est strictement plus facile à trouver, et qu'il certifie malgré tout un
écart nul.
La question exacte, énoncée précisément. Autour de chaque cellule défectueuse,
on prend la région halo-r : toute cellule à moins de r pas. On libère
toutes les pièces qu'elle contient, on garde le reste du plateau fixé comme
frontière, et on résout un programme en nombres entiers pour le meilleur
remplissage légal. Des variables binaires xc,p,θ∈{0,1} placent
la pièce p à la rotation θ dans la cellule c ; des contraintes
d'une-pièce-par-cellule et d'une-cellule-par-pièce en font un problème
d'affectation ; l'objectif maximise les arêtes concordantes, en comptant la
frontière fixée. Une région de 64 cellules représente environ 18 700 variables
binaires. La séparation et évaluation trouve alors soit un remplissage
strictement meilleur, soit prouve, à l'aide d'une borne duale, qu'il n'en
existe aucun. La définition qui vaut d'être retenue : un plateau est
localement rigide au rayon r si, pour chaque composante connexe de ses
cellules adjacentes aux désaccords, libérer toutes les cellules à distance au
plus r de celle-ci et résoudre exactement n'apporte aucune amélioration.
Elle n'en trouve jamais. Les preuves, région par région. Ces exécutions PLNE
proviennent du carnet de recherche du projet (l'article du 2026-05-16 cité dans
les sources) ; le tableau ci-dessous n'est pas encore rejoué par la chaîne de
résultats validés de ce site, de sorte que ses temps de solveur et ses bornes
duales ne sont pas vérifiables de façon indépendante depuis ce dépôt, à la
différence du résultat SAT sur halo plus bas. La même note de provenance
couvre chaque recensement, énumération et escalade SAT ajoutés à cette page ;
la reproduction SAT au rayon 4 est le seul résultat committé dans ce dépôt :
Région
Plateau
Cellules
Temps solveur
Résultat
halo-2, par composante (×8)
3 bassins (469, 459, 458)
2–34
quelques secondes chacune
tous Δ = +0, prouvé
halo-1 conjoint
McGavin 469
37
895 s
Δ = +0, prouvé
halo-1 conjoint
Local 459
59
1800 s
Δ = +0, prouvé
halo-1 conjoint
trois 458 distincts
57, 62, 64
180 s chacun
Δ = +0, prouvé
halo-1 par composante
un second 459, disjoint
52 + 4
~60 s
Δ = +0, prouvé
3 rangées du haut (une bande, pas un halo)
McGavin 469
48
70 s
Δ = +0, prouvé
halo-3, par composante
McGavin 469
42 + 47
929 s
Δ = +0, prouvé
halo-3, grappe la plus dense
un 458
79 + 19
1200 s + 0,2 s
Δ = +0, prouvé
halo-4, composante 0
McGavin 469
57
1200 s
Δ = +0, prouvé
Sur au moins six plateaux distincts et plus de vingt régions, la réponse est
invariante : le plateau sortant est localement PLNE-optimal, jusqu'au halo-4
pour le 469 de McGavin. Deux lignes méritent un mot. La ligne des trois
rangées du haut est une bande géométrique complète, pas un halo : elle libère
des cellules propres à côté des cellules brisées, et exclut donc en plus les
mouvements qui échangeraient des pièces entre cellules brisées et propres à
l'intérieur de la bande. Et la région de 79 cellules, la plus grande jamais
fermée ici, se trouve sur un 458 plutôt que sur le 469 parce que la
résolubilité suivait la densité de défauts, pas la taille brute de la
région : les régions denses en défauts se ferment, les plus grandes mais
clairsemées expirent.
L'unique région laissée avec un écart, les quatre rangées supérieures, 64
cellules, donne encore un résultat rigoureux : une borne duale de 123 contre
les 116 du sortant, de sorte que même le cas non fermé ne peut dépasser le mur
que de peu (cela implique une borne de ≤ 476 à l'échelle du plateau).
Toutes les résolutions n'ont pas abouti, et le registre garde aussi
celles-là. La résolution conjointe halo-2 de 54 cellules sur le 469 est
restée bloquée sur sa relaxation racine pendant 55 minutes avant d'être
arrêtée ; la bande des 5 rangées du haut (80 cellules) a expiré ; sur les
trois 458, les deux grandes composantes halo-2 ont atteint une limite de
120 s en rapportant +0 sans certificat, ce qui compte comme « aucune
amélioration trouvée », pas comme prouvé. Une ligne inachevée de plus élargit
le constat à une autre convention de score : un plateau à 460 joué sans la
contrainte des indices a reçu une résolution conjointe halo-1 (42 cellules
libres, liberté totale des pièces) et une exécution de 900 secondes n'a rien
trouvé de mieux tout en laissant un écart dual de 9,5 pour cent ouvert ;
cette ligne aussi est « rien trouvé dans le budget », pas « prouvé optimal ».
Un seul plateau, une seule exécution.
Ce n'est pas non plus un plateau malchanceux isolé. Un second plateau à 459,
trouvé par un chemin de construction complètement différent, ne coïncide avec
le premier que sur 3 des 256 cellules, essentiellement les cellules des
indices ; les deux plateaux sont structurellement disjoints, et le second est
lui aussi prouvé rigide au halo-1 (deux composantes, 52 et 4 cellules, +0
prouvé en une minute environ). Au halo-2, sa petite composante (7 cellules) a
été prouvée +0 en 18 s ; sa grande composante (67 cellules) est restée
indécise après environ 13 minutes et demeure ouverte. La conjecture que cela
soutient, énoncée comme telle : l'ensemble de niveau 459 est une union
disjointe de nombreux points rigides, et le dépasser exige un réagencement à
l'échelle du plateau ou un autre départ, jamais une retouche locale.
Le badge indique prouvé plutôt que conjecturé pour les régions
effectivement fermées ; l'énoncé général sur tous les plateaux reste une
conjecture, étayée par chaque région testée à ce jour.
La PLNE libère une région et la remplit depuis l'ensemble complet des pièces.
Il existe une classe de mouvements complémentaire qu'elle ne couvre pas :
choisir k cellules et essayer toutes les façons de permuter et re-pivoter
les pièces qui s'y trouvent déjà, le reste du plateau gelé. Une algèbre de
mouvements différente, et la même réponse.
Sur un de nos plateaux à 452 (convention stricte à cinq indices, 2026-07) :
k=1, exhaustif sur les 251 cellules libres, zéro mouvement améliorant.
k=2, exhaustif sur les 31 375 paires hors indices, zéro. k=3 à 6,
environ 29 000 grappes échantillonnées (près des défauts, sur tout le
plateau, connexes et non connexes), zéro ; ce palier est un large
échantillon, pas une énumération. Pour k=7 et 8, l'échantillonnage a été
promu en véritable énumération : chaque sous-ensemble connexe de 7 et 8
cellules parmi les cellules touchant un défaut, sur deux plateaux
indépendants, 849 sous-ensembles en tout (231 sur le 452, 618 sur un 451
structurellement étranger qui en diffère sur 249 des 256 cellules), tous
résolus jusqu'au bout, zéro améliorant, zéro dépassement de délai ; plus les
7 845 sous-ensembles connexes de 7 cellules à un pas d'une arête en défaut,
zéro encore. Environ 60 000 mouvements de grappe évalués, et le meilleur
delta trouvé où que ce soit est exactement zéro.
Ce zéro n'est pas un détecteur cassé. En témoin positif, un sabotage
délibéré de deux pièces (452 ramené à 447) a été réparé par la même machinerie
en un seul mouvement de 4 cellules, retour direct à 452. Et la recherche
locale gloutonne sur cette classe de mouvements, lancée depuis trois plateaux
d'origines indépendantes (le 452, un jumeau de même score n'en différant que
sur 2 cellules, et le 451 étranger), a touché un point fixe immédiat dans les
20 exécutions ensemencées : minimum, médiane et maximum identiques, zéro
évasion.
Le détail qui pique : le 452 lui-même est né de cette classe de mouvements.
Une co-rotation de deux pièces a soulevé un 451 rigide sous tout mouvement de
pièce unique. Un authentique mouvement corrélé à deux corps a existé ; une
fois pris, plus aucun mouvement corrélé de taille jusqu'à 8 ne subsiste près
des défauts. Le rayon de rigidité grandit à mesure que le plateau s'améliore.
Changer la géométrie de l'ensemble libéré n'aide pas davantage. Libérez des
bandes de rangées contiguës plutôt que des taches : 54 bandes d'une rangée
sur 54, à travers les bandes de défauts des deux plateaux (largeurs 8 à 14,
jusqu'à 15 cellules libérées), certifient exactement le score du plateau en
moins d'une seconde chacune, et 18 bandes de deux rangées sur 18, hors de la
pire bande, certifient la rigidité jusqu'à 26 cellules. Dans la bande de
défauts la plus dense de chaque plateau, les bandes plus larges (16 à 26
cellules) deviennent difficiles à certifier : après escalade à 300 s et 3
graines, 6 sur 10 restent ouvertes avec des écarts de borne de 2 à 6 arêtes.
Mais sur les 30 exécutions d'escalade, le solveur n'a jamais trouvé le
moindre agencement meilleur que celui du plateau. C'est un écart de
certification, pas l'indice d'une amélioration, et les bandes ouvertes sont
consignées comme ouvertes, pas comme prouvées.
Les fenêtres rectangulaires racontent la même histoire. Sur le 452, dont les
28 arêtes brisées se répartissent en 22 concentrées dans la bande du bas et 6
éparses, chaque fenêtre de jusqu'à 18 cellules autour de chaque grappe de
défauts (quatre fenêtres, 9 à 18 cellules) se re-résout à un optimum certifié
exactement à la valeur du plateau. Chaque défaut est forcé par des pièces
engagées ailleurs ; aucune fenêtre qui se contente de contenir le défaut ne
peut le réparer.
Même laisser les pièces s'échanger à travers la frontière bon/mauvais ne
bouge rien. Sur un de nos plateaux à 459 (strict à cinq indices), les deux
rangées du bas (32 cellules) certifient l'optimalité en 49 s. Une fenêtre de
46 cellules, et des fenêtres de 52 et 72 cellules qui libèrent en plus 6 à 10
cellules donneuses dans la région parfaite, pour que des pièces puissent
circuler entre parties propres et brisées, renvoient toutes le plateau
identique : zéro cellule déplacée,
pas même un remaniement latéral à score égal (150 à 180 s chacune, graine
unique, si bien que ces fenêtres plus grandes comptent comme « aucune
amélioration et aucun mouvement trouvés », pas comme des certificats). Le
même opérateur appliqué à un plateau plus faible à 455 le soulève de 2
jusqu'à 457 : il améliore donc bel et bien les plateaux qui ne sont pas
encore à leur point fixe ; le 459, lui, y est déjà. Dans chaque fenêtre, la
relaxation linéaire croit qu'environ 17 concordances de plus sont
disponibles ; la contrainte chaque-pièce-une-seule-fois les interdit toutes.
La contrainte qui mord, c'est quelles pièces le reste du plateau laisse en
réserve, jamais la taille de la fenêtre. La difficulté est la distinction
globale, pas la concordance locale.
Halos et fenêtres sont des taches. Essayez une géométrie qui traverse le
plateau : libérez une rangée entière de 16 cellules, restreignez-la aux
pièces non utilisées ailleurs sur le plateau, et énumérez les remplissages
alternatifs par programmation dynamique. Sur un plateau à 460 (désaccords
tous dans les rangées 11 à 14) et sur le 469 de la communauté (désaccords
dans les rangées 0 à 4), le remplissage actuel de chaque rangée est le
meilleur disponible, et plusieurs rangées n'admettent aucune alternative
légale : la chaîne posée est l'unique façon de faire passer cette rangée à
travers le reste du plateau.
Les chiffres. Sur le 460 : les rangées 1 à 10 sont parfaites et n'admettent
qu'une seule chaîne chacune, celle qui est posée ; les rangées 12 et 14 ont
zéro chaîne alternative ; la rangée 13 a 176 alternatives, toutes moins
bonnes, la meilleure perdant 10 arêtes. Sur le 469 : la rangée 3 a zéro
alternative ; les rangées 2 et 4 ont leurs meilleures alternatives à 20
arêtes de moins ; les rangées 5 à 14 sont parfaites, l'originale figurant
parmi jusqu'à environ 17 857 chaînes légales sans qu'aucune fasse mieux. En
libérant deux rangées conjointement (32 cellules, jointure interne libre) :
les paires (11,12), (12,13) et (13,14) sur le 460 donnent 0 à 4 chaînes
alternatives au total, toutes moins bonnes (12 à 16 arêtes de moins) ou
infaisables. Trois rangées conjointement (48 cellules) : les rangées
(11,12,13) et (12,13,14) donnent zéro chaîne alternative. Ces rangées ne sont
pas seulement optimales ; elles sont souvent forcées. Unicité, pas
simplement optimalité. Portée : l'énumération est une programmation dynamique
à faisceau (largeur 100 000 pour une rangée, 5 000 à 50 000 pour deux et
trois rangées), exhaustive en pratique mais non certifiée comme le sont les
lignes PLNE ; disons faisceau-exhaustive. Deux plateaux.
Un pendant exact sur des bandes : videz entièrement les 2 rangées du bas (32
cellules) d'un plateau à 460 et laissez une recherche exacte par contraintes
énumérer chaque remplissage légal à partir des pièces libérées. Il existe
exactement 32 remplissages alternatifs, tous à 460 ou moins. Videz les 4
rangées du bas (64 cellules) : la seule complétion que la recherche exacte
atteint est le plateau original lui-même. Un seul plateau, ces deux tailles
de bandes seulement ; mais sur chaque bande qu'on a pu fermer exactement, le
score actuel est le vrai plafond.
Où vivent les derniers désaccords, et pourquoi ils sont coincés#
Sur un de nos plateaux à 458, l'anatomie de l'échec est remarquablement
concentrée. L'anneau de bordure est parfait (60 sur 60), les neuf rangées
intérieures du haut sont parfaites, et les 22 désaccords (4
bordure-intérieur, 18 intérieur-intérieur) vivent tous dans les cinq rangées
du bas, regroupés en 10 minuscules grappes disjointes de 2,8 cellules en
moyenne, la plus grande n'en comptant que 5. Chaque grappe semble réparable
trivialement. Les résolutions exactes disent le contraire : re-remplissages
par grappe, delta zéro ; élargissements halo-1 et halo-2 jusqu'à 16 cellules,
delta zéro ; et l'union des 28 cellules touchant un défaut, résolue
conjointement à l'optimalité prouvée en 1,74 s, delta zéro.
C'est le mécanisme de tout le mur en miniature : la région des défauts est à
son optimum exact étant donné les pièces qu'on lui a laissées. Le haut
parfait du plateau a consommé un ensemble de pièces précis, et c'est cet
engagement qui plafonne le bas. Réparer les derniers désaccords exigerait de
désengager des pièces de la région déjà parfaite, un grand mouvement
inter-régions, pas une réparation locale. (Une relaxation linéaire lit un
plafond de 478 pour cette bordure ; c'est un plafond de relaxation pour cette
bordure particulière, pas une affirmation sur le véritable optimum.) Un seul
plateau, mais le motif, des défauts tassés en quelques minuscules grappes que
les re-remplissages exacts ne peuvent réparer, est exactement ce que le
tableau des halos ci-dessus retrouve sur les autres bassins.
Pourquoi personne ne peut certifier le mur par le haut#
Deux faits coexistent sur le plateau à 452 (strict à cinq indices), et leur
tension est l'état de l'art actuel. Fait A : aucun mouvement local d'aucune
sorte testée ne le bat, et quatre cadres indépendants concordent (mouvements
de grappe, re-résolutions de fenêtres, un certificat exact à écart nul
attestant que le lot de pièces posé sur ses cellules touchant un défaut est
placé optimalement, et une sonde thermodynamique qui, ou bien gèle sur le
sortant, ou bien fond vers l'aléatoire, sans échappée douce entre les deux).
Fait B : toute tentative de borner une grande région par le haut échoue ;
les bornes sont lâches et ne convergent pas. Sur la queue de trois rangées du
plateau, 8 graines à 20 minutes chacune ont toutes rendu exactement le
sortant, aucune n'a jamais rien trouvé de mieux, tandis que la borne
supérieure du solveur montait de 79 (à 300 s) à 89 (à 1200 s), s'éloignant
des 72 du sortant au lieu de s'en approcher. Une borne de programmation
linéaire sur l'intérieur lit 478,5 sur 480 : vide de sens.
Il y a un récit d'avertissement là-dedans. Une première lecture de
l'exécution à 300 s donnait « un écart de 7, de la marge vers un score plus
haut ». La chasse à 8 graines a montré que l'écart était l'artefact d'une
relaxation non convergente, pas l'indice d'un meilleur plateau atteignable.
La raison pour laquelle les bornes restent lâches : la rareté qui rend ce
puzzle difficile est du second ordre, une affaire de paires de couleurs
conjointement rares, et les relaxations de concordance du premier ordre, sur
lesquelles sont bâties les bornes LP et de propagation, ne peuvent pas la
voir, quel que soit leur temps de calcul.
Ainsi la rigidité locale (prouvée) et l'écart global ouvert ne se
contredisent pas. Le sortant est un optimum local profond, et un meilleur
agencement déconnecté peut exister qu'aucun mouvement local n'atteint ;
aujourd'hui aucune borne ne l'exclut et aucune recherche ne le trouve. Fermer
l'une ou l'autre direction d'un seul écart de grande région serait une
première : un meilleur remplissage serait un nouveau meilleur plateau, et une
borne ramenée jusqu'au sortant serait le premier plafond de score local
prouvé. La borne duale des quatre rangées du haut (123 contre 116) est ce qui
ressemble le plus à un progrès par le haut, et elle reste lâche de 7 arêtes.
Portée : le fait A est prouvé sur un plateau à travers plusieurs lentilles ;
le fait B porte une dispersion à 8 graines sur son exécution décisive.
La rigidité survit même quand l'ensemble des mouvements est « emprunter à
chaque bon plateau jamais trouvé ». Construisez une optimisation où chaque
cellule peut prendre la pièce et la rotation que n'importe lequel de 25 à
30 plateaux distincts à haut score y place, avec chaque-pièce-une-seule-fois
imposé, et libérez le plateau entier, les 256 cellules. L'optimum est
exactement le meilleur plateau déjà présent dans le corpus, jamais un mélange
qui le batte : 457 avec les cinq indices épinglés (convention stricte ;
corpus de 25 plateaux, résolu en 24 s), et 459 sans imposer les indices
(convention des arêtes concordantes). Les versions par région à rayons
croissants, 77, 127, 191 et 252 cellules libres, sont toutes à delta zéro en
quelques secondes à environ 30 s. Ces optima sont des certificats, par
corpus ; le corpus date de 2026-05, quand nos meilleurs étaient 457 strict et
459 en arêtes concordantes, tous deux sous les chiffres de la communauté hier
comme aujourd'hui (page des records).
Le corpus n'est pas à court de choix. Chacune des 256 cellules a au moins 2
options distinctes à travers les plateaux, et une pièce typique apparaît à 6
à 19 positions différentes dans le corpus. La diversité est riche ; l'unicité
des pièces la fragmente. Les plateaux issus de familles d'agencements de
coins différentes ne peuvent pas du tout se mélanger, et ajouter le 469 de la
communauté au corpus fait que l'optimiseur choisit simplement ce plateau en
bloc, à 469, plutôt que de le mélanger à quoi que ce soit.
La lecture : l'écart au-dessus des meilleurs plateaux connus est un écart de
découverte, pas de recombinaison. L'amélioration ne se cache dans aucune
combinaison de ce qui est déjà connu ; elle exige des plateaux hors du corpus
connu tout entier.
Cela recadre tout l'écart jusqu'à 480. La distance entre le meilleur plateau
connu et une solution n'est pas un amas de petites corrections en attente d'être
trouvées. Si c'était le cas, ce type de recherche locale les aurait trouvées.
L'obstacle, c'est que les bons plateaux siègent au fond de leurs propres petites
vallées, et que les parois de ces vallées sont exactes, non approximatives.
Cela dit aussi ce qui ne marchera pas. Le polissage, l'ascension de colline et
la plupart des heuristiques de réparation locale tentent de remonter la pente
depuis un point figé. Il n'y a pas de pente à remonter. Atteindre une solution
exige un mouvement qui réagence une grande région d'un seul coup, ou un point de
départ entièrement différent, non un meilleur polissage. Les preuves
conjointes au halo-1 rendent cela quantitatif : tout opérateur de
destruction-réparation dont la portée est au plus le halo, des fenêtres
jusqu'à environ 30 cellules autour des défauts, est mathématiquement épuisé
sur ces plateaux. Le gel n'est pas « notre heuristique est faible » ; cette
classe d'opérateurs entière est terminée.
Même le plus grand mouvement unique que nous sachions faire ne s'échappe
pas. Sur notre plateau à 461 (strict à cinq indices ; pour situer ce chiffre
face aux records de la communauté, voir la page des
records), les mouvements de cycles entiers
indécomposables décrits sur la page des
sigma-cycles ont été appliqués atomiquement,
chacun suivi d'une re-résolution de fenêtre locale pour réparer les cellules
dérangées. Environ 4 000 mouvements de ce type : zéro évasion, et la sortie
non locale la moins chère perd encore au moins un point (meilleur résultat
460, deux cellules de différence). Cela n'exclut que la variante à nettoyage
local ; une re-résolution compensatrice globale n'a pas été testée. Mais un
grand mouvement ne suffit pas si son nettoyage est local.
Une chose de plus que la rigidité ne signifie pas : difficile à
reconstruire. Épinglez les quatorze premières rangées du 469 de la communauté
et laissez une recherche de réparation reconstruire le reste : 3 graines sur
4 reviennent à 469 (la quatrième reste coincée à 454). Faites de même avec
les préfixes de nos propres plateaux records : aucune graine ne dépasse
jamais 460. Une petite sonde (4 graines, réparations de 30 secondes par
plateau), mais la forme est nette. Le mur ne mesure pas la difficulté de
reconstruire un plateau ; il dit à quelle vallée appartient le squelette du
plateau. Un préfixe admet une excellente complétion ou n'en admet pas, et
aucune chance de graine ne change laquelle.
Épinglez les N rangées supérieures du 469 de la communauté et laissez la
recherche locale compléter le reste. Le score de complétion n'est pas graduel
en N ; c'est une falaise avec des leurres : N=1 donne 400, N=2 donne
382, N=4 donne 401, N=8 donne 418, N=12 donne 450, N=13 donne 455,
et N=14 donne 469, une reconstruction exacte, zéro cellule de
différence, N=15 pareil. À 13 rangées épinglées, il existe une complétion
alternative des trois dernières rangées, avec les mêmes pièces autrement, qui
ne marque que 455 et constitue elle-même un piège : la concordance locale des
couleurs admet plusieurs complétions et la recherche ne sait pas laquelle se
prolonge. Réussir 87 pour cent d'un record n'est pas « presque y être ». Ce
sont des exécutions de complétion uniques par point, sur des budgets de
l'ordre de la minute, sans dispersion de graines ; lisez le seuil, pas les
scores individuels.
Deux notes complètent le tableau. Le balayage prouve que la machinerie de
complétion est capable d'atteindre 469 ; le mur consiste à trouver les
quelque 224 premières pièces de la structure, pas dans une faiblesse de
l'étape de polissage. Et l'influence ne circule pas dans l'autre sens : une
rangée du haut seule, une parmi au moins 5×108 rangées du haut
légales, ne détermine presque rien. Quatre préréglages d'opérateurs de notre
famille de recherche locale, poussés depuis une rangée du haut épinglée,
calent tous entre 378 et 400 ; les autres familles de recherche ne sont pas
testées, ce négatif est donc circonscrit à notre chercheur. Pendant ce temps,
363 de nos plateaux à 455 et plus n'ont utilisé que 47 rangées du haut
distinctes : les bons plateaux se regroupent en haut bien avant que le bas ne
soit décidé.
La preuve PLNE aborde le mur de façon analytique. En juin 2026, un autre
chercheur s'y est heurté de plein fouet, empiriquement. En travaillant le
plateau strict à cinq indices avec un solveur de recuit simulé sur GPU (4096
répliques parallèles), benj39100 a rapporté deux choses qui se lisent comme une
reformulation de cette page. Premièrement, le meilleur score qu'une exécution
pouvait atteindre augmentait avec la distance au meilleur plateau courant :
pour grimper de 429 vers 432, les perturbations gagnantes devaient migrer
régulièrement plus loin, parce qu'au voisinage du sortant il n'y avait aucun
mouvement améliorant à trouver. Deuxièmement, à travers tous leurs meilleurs
plateaux, les mêmes quelque quarante-deux arêtes brisées formaient un « noyau
dur » figé que la recherche locale ne touchait jamais, si bien qu'ils ont dû
ajouter un terme explicite qui récompensait le fait d'ouvrir ce noyau de
force. Un sortant localement figé sans gradient à proximité, et un petit
ensemble verrouillé de défauts que rien de local ne déplace : voilà le mur de
rigidité, vu depuis une méthode complètement différente.
Un troisième chercheur est parvenu à la même conclusion avec un troisième outil.
William Millilaw, travaillant le plafond de façon indépendante, a mené deux
tests. Le premier était un test de gel : perturber la racine d'un plateau de
tête, ré-optimiser, et voir quelles cellules reviennent. Sur ses meilleurs
plateaux, 93 à 100 pour cent des cellules revenaient exactement à leur place, un
noyau figé que la recherche ne pouvait déplacer. Le second était une question de
décision pour un solveur SAT. Libérer les cellules autour des désaccords,
exiger que chaque arête libérée concorde, et demander si un quelconque agencement
de ces pièces la satisfait. Son solveur a répondu UNSAT.
Nous avons reproduit ce test SAT
sur cinq plateaux publics, avec notre propre encodeur et un témoin positif pour
nous assurer qu'une région concordante revient satisfiable. Sur les quatre
plateaux records de la communauté, du 467 de Verhaard au 470 de Blackwood, et le
464 de Riotte (le record strict à cinq indices), chaque résolution qui aboutit
est UNSAT jusqu'à un halo de rayon 4 au sens de Chebyshev (cette reproduction
mesure la région libérée par rayon de Chebyshev, alors que les échelles SAT du
carnet plus bas comptent des pas de Manhattan ; les deux échelles de halo ne
sont donc pas la même métrique) : aucun réagencement local des
propres pièces d'un plateau record ne referme un seul désaccord, même lorsque la
région libérée dépasse la centaine de cellules. Les instances de rayon 4 sont
assez grandes pour que quelques-unes n'aboutissent pas dans le temps imparti au
solveur ; celles-ci sont enregistrées comme dépassements de délai et laissées
ouvertes, non comptées comme prouvées, de sorte que le tableau validé énonce
exactement ce qui a été décidé. La programmation en nombres entiers optimise et
borne ; le recuit se cogne au mur à la main ; SAT décide et renvoie une
réfutation. Trois méthodes, une seule réponse.
Un quatrième outil est d'accord. Un optimiseur MaxSAT, une variante de SAT
qui renvoie à la fois le meilleur remplissage et une preuve de son
optimalité, a été pointé sur des sous-régions d'un de nos plateaux à 454 plus
ancien : épingler tout ce qui est hors d'une région, libérer la région,
demander le meilleur remplissage prouvable. Chaque fenêtre k×k
jusqu'à 5×5 a été prouvée optimale dans son budget de 60 s (les fenêtres 6×6
ont dépassé le budget et sont consignées comme non fermées, pas comme
prouvées), et la zone de défauts entière du plateau, 45 cellules contenant
ses 26 désaccords intérieurs, a été prouvée optimale en 83 s : ces 26
désaccords sont le mieux que cette région puisse faire étant donné le reste
du plateau. Ce 454 avait lui-même été atteint à l'octet près depuis 4 graines
aléatoires différentes, le même effondrement sur un point unique que le 457
du recensement plus haut : les exécutions indépendantes n'atteignent pas
seulement le même score, elles atteignent exactement le même plateau.
Poussez la question SAT plus loin et la réponse devient plus spectaculaire.
Prenez un de nos plateaux à 459 (cinq indices imposés), libérez chaque
cellule à distance au plus 10 de ses désaccords, 218 des 256 cellules libres
et seulement 38 épinglées, et demandez si une quelconque complétion atteint
un 480 complet. UNSAT, en 0,31 s. L'échelle en chemin : les halos 0 à 5 tous
UNSAT en moins de 2 s chacun ; le halo 7, 173 libres et 83 épinglées, UNSAT
en 0,17 s. Les 38 cellules encore épinglées au halo 10 sont essentiellement
les deux rangées du haut plus 3 des 5 indices. Les deux rangées supérieures
de ce plateau sont donc, à elles seules, prouvées incompatibles avec toute
solution parfaite : tout 480 doit différer de ce plateau quelque part dans
ces 38 cellules. La rigidité est portée par un mince squelette en haut du
plateau, pas par les voisinages des défauts. Au rayon 15, seulement 4
cellules épinglées, le solveur a expiré à 600 s ; ce cas est ouvert. Un
plateau précis ; on ignore si d'autres plateaux à 459 partagent la même
rigidité du haut épinglé.
Ses travaux antérieurs sur le serpent et la recherche locale ont chiffré le
pourquoi. Le plus grand pavé qu'un quelconque de ses opérateurs de réparation
pouvait réécrire en un mouvement faisait environ 48 cellules, alors que deux des
bons plateaux connus, tous deux proches du plafond, diffèrent sur environ 225
cellules. Un mouvement qui ne peut toucher que 48 cellules ne peut franchir un
écart de 225 cellules, si bien qu'aucune suite de tels mouvements n'atteint un
bassin différent. Il a cherché une chaîne de petits mouvements améliorants qui
permettrait de percer un tunnel vers la sortie et n'en a trouvé aucune : zéro
amélioration sur vingt-huit millions de combinaisons de quatre et cinq
mouvements au plateau. C'est le même mur, énoncé comme un budget. La réparation
locale réécrit trop peu à la fois pour quitter la vallée, ce qui explique
pourquoi s'en échapper exige un mouvement qui réagence une grande région d'un
seul coup, exactement comme le conclut la section de preuve ci-dessus.
Tout ce qui précède demande si un réagencement local peut refermer un
désaccord. Il y a une question bien plus grande : en ne gardant que l'anneau
de bordure d'un plateau, un quelconque agencement des 196 pièces restantes
atteint-il un 480 parfait ? Sur notre plateau à 459 (convention des arêtes
concordantes, indices canoniques), la réponse est une preuve de non, à toutes
les échelles. Libérer les 32 cellules en désaccord : UNSAT en 0,09 s (14 000
variables, 81 000 clauses). Libérer tout ce qui est à 5 pas d'un désaccord,
140 cellules, plus de la moitié du plateau : UNSAT en 1,56 s. Libérer
l'intérieur entier, les 191 cellules intérieures hors indices, en ne
gardant que l'anneau de bordure de 60 pièces : UNSAT en 1,37 s (160 000
variables, 5,4 millions de clauses). Les barreaux intermédiaires, halo-1 à 70
cellules (0,33 s), halo-2 à 93 cellules (0,89 s), halo-3 à 109 cellules
(0,80 s), sont tous UNSAT aussi. Le solveur est kissat, cité dans les
sources.
Et ce n'est pas la malchance d'un seul plateau. Neuf configurations
d'anneaux de bordure distinctes ont été testées, couvrant quatre agencements
de coins différents : la bordure du 469 de la communauté, nos bordures
records 459 et 458, un plateau à 435 issu de la propagation de croyances, et
cinq bordures partielles énumérées systématiquement. Chacune, sans exception,
est UNSAT pour 480, en moins de 2 secondes à chaque fois. Fait le plus
notable, la bordure du 469 de la communauté, à 11 désaccords de la
perfection, ne peut prouvablement héberger aucun intérieur à 480 : UNSAT en
moins de 0,01 s. L'encodeur a été validé aller-retour sur de petits puzzles
solubles, où des résolutions fraîches se décodent en plateaux parfaits
vérifiés et où épingler une bordure correcte rend SAT, la même discipline de
témoin positif que la reproduction plus haut ; les verdicts UNSAT sont
réels, pas des artefacts.
Le bord ouvert de ce résultat en est le meilleur résumé. Seules neuf
configurations de bordure existent dans notre corpus, et une bordure
compatible avec un 480 existe à coup sûr : le puzzle a été construit à partir
d'une solution. Elle n'est simplement aucune des bordures qu'une recherche de
classe record ait jamais produites. Polir près d'un record n'est pas
seulement lent ; sous la propre bordure de ce record, atteindre 480 est
prouvé impossible. Une solution exige une autre bordure.
La page jusqu'ici prouve le mur ; voici ce qui se rapproche le plus d'une
raison. Modélisez l'ensemble des plateaux à score fixé comme un graphe dont
les arêtes sont des mouvements touchant au plus k cellules, et demandez le
plus petit k qui le connecte : le rayon de connectivité. Sur de petites
instances d'appariement d'arêtes où chaque plateau peut être énuméré
exactement, deux lois émergent. Premièrement, le rayon est petit sur
l'essentiel du spectre des scores et saute au plateau entier exactement au
score maximal : sur une instance à 6 cellules, k vaut 2 à 4 cellules aux
scores intérieurs et 6, le plateau entier, au maximum ; sur une instance à 9
cellules, le rapport k/N se situe autour de 0,22 à 0,44 à l'intérieur et
0,78 au sommet. Deuxièmement, la rigidité s'allume avec la richesse des
couleurs : en balayant la palette sur les instances à 9 cellules, le support
moyen du mouvement minimal monte de 1,4 à 7,6 cellules quand les couleurs
passent de 2 à 8, et la fraction d'instances dont les solutions parfaites
exigent un mouvement plein-plateau pour s'interconnecter monte de 0 à 70
pour cent.
À l'échelle jouet, il y a un théorème, prouvé par un argument de forçage et
vérifié par énumération exhaustive : si le jeu de couleurs est assez riche
pour que chaque couleur d'arête exposée n'admette au plus qu'une tuile légale
pendant un remplissage, alors deux solutions parfaites distinctes ne
partagent aucune cellule, si bien que tout mouvement entre elles doit
toucher chaque cellule. À une richesse de couleurs comparable à celle du
vrai puzzle, chaque instance testée était rigide exactement en ce sens : zéro
cellule partagée entre toute paire de solutions parfaites.
Pour Eternity II lui-même, c'est une conjecture, et nous l'étiquetons comme
telle. Avec 22 couleurs intérieures, chacune réutilisée environ 24 à 50 fois
sur 480 adjacences intérieures, le vrai puzzle siège profondément dans le
régime rigide, si bien que des plateaux quasi parfaits distincts devraient
être quasi orthogonaux (ce qui correspond à la différence de 225 cellules
observée plus haut entre bons plateaux) et qu'aucun mouvement de taille
bornée ne devrait relier des optima distincts. La condition « au plus une
tuile » n'est pas strictement vraie sur E2, donc l'affirmation défendable est
« une grande fraction du plateau », pas « prouvablement les 256 cellules ».
Le corollaire est la partie satisfaisante : la recherche locale gèle
précisément aux hauts scores parce que c'est là que le graphe des
mouvements se déconnecte. L'intérieur de la gamme des scores se parcourt
facilement, d'où le fait qu'atteindre les 450 et 460 soit routinier ; le
sommet est un ensemble de points isolés, d'où le fait que le polissage y
meure. Une théorie, les deux moitiés de l'histoire de cette page. (Les
mathématiques sont le cercle d'idées des bases de Markov et de Graver en
statistique algébrique ; voir les sources. Les seuls mouvements de sommet bon
marché que la théorie autoriserait sont des symétries globales, et ce jeu de
pièces n'en a essentiellement aucune.)
La pièce suivante du tableau
Si vous ne pouvez pas améliorer un plateau localement, peut-être pouvez-vous
sauter d'un bon plateau à un autre. Cela échoue aussi, pour une raison
connexe : voyez pourquoi le saut de bassin est impossible.
Les preuves utilisent la programmation en nombres entiers sur des régions de
chaque plateau ; elles tournent plusieurs minutes par région sur un solveur, et
ne sont donc pas reproduites en direct ici. Les plateaux eux-mêmes sont fournis
et vérifiables dans la visionneuse.