Posez les solveurs et mesurez l'objet lui-même. Le jeu officiel compte 256
pièces carrées, quatre bords colorés chacune. Si ces pièces avaient été tirées
sans soin, un peu de mou structurel survivrait quelque part : une pièce
répétée, une pièce symétrique, une couleur en surplus, un biais d'orientation
qui ne coûte rien, une clique de pièces qui se préfèrent entre elles. C'est de
ce mou-là que les solveurs se nourrissent. Cette page vérifie chacune de ces
portes directement sur le jeu de pièces seul, et chacune est fermée,
exactement, pas approximativement.
Cinq des six mesures ci-dessous sont versionnées comme un seul sujet
reproductible. Chacune se recalcule depuis l'instance publiée en moins d'une
seconde, et le binaire vérifie lui-même ses valeurs attendues : reproduire les
nombres et les contrôler sont un seul et même geste.
| Axe | Mesure | L'extrême où il se trouve |
|---|
| Symétrie de rotation | 256 pièces sur 256 ont leurs quatre rotations distinctes | 1 024 pièces-rotations, rien à quotienter |
| Jumelles | 251 multiensembles de couleurs distincts ; 5 paires jumelles et 114 quasi-jumelles sur 32 640 appariements | aucun doublon, coïncidence au niveau de 0,4 % |
| Plafond à orientation fixe | au plus 307 joints sur 480 peuvent s'apparier si aucune pièce ne tourne | la rotation est structurellement nécessaire |
| Budget de couleurs | les 22 couleurs ont toutes un nombre pair de côtés ; la capacité d'appariement somme à 480 | exactement suffisant, aucun jeu |
| Palette scindée | 17 couleurs intérieures, 5 couleurs de joints de bordure | 17 est le réglage d'une-solution-attendue |
Une pièce identique à elle-même après un quart ou un demi-tour réduirait les
orientations et rétrécirait l'espace de décision, et la réduction standard,
chercher une forme canonique par orbite, empocherait la remise. Mesuré :
chacune des 256 pièces a une orbite de rotation complète de taille 4, le
puzzle possède donc réellement 1 024 pièces-rotations distinctes et la
recherche par formes canoniques ne gagne strictement rien. Le recensement
communautaire de l'espace de conception montre que c'est un choix, pas un
accident : avec cette palette, l'espace des pièces possibles contient des
formes qui se répètent sous rotation, et le jeu réel les évite toutes
(msg 8025). La
recette de conception porte le versant
intentionnel de cette histoire, y compris la mesure de Brendan Owen montrant
que des pièces symétriques se placeraient assez inégalement pour rendre au
solveur le signal d'ordonnancement par difficulté que les concepteurs
retiraient.
Oubliez l'ordre des bords et demandez quelles pièces portent le même budget de
quatre couleurs. Les 256 pièces produisent 251 multiensembles distincts :
exactement 5 paires coïncident, les pièces (2,3), (5,14), (7,51), (109,110) et
(171,181) dans la numérotation de recherche, et dans chaque paire les couleurs
partagées occupent un ordre cyclique différent, si bien qu'aucune pièce ne se
répète, même à rotation près. En relâchant la question vers les
quasi-jumelles, les paires partageant 3 de leurs 4 bords à même position dans
l'orientation stockée, on ajoute 114 paires en 79 groupes. Rapportée aux
32 640 paires non ordonnées que le jeu offre, même cette coïncidence relâchée
reste une fraction de pour cent. La porte ainsi fermée est le doublement
gratuit : une vraie paire de doublons permettrait de réécrire toute solution
en échangeant les deux pièces, et il n'y en a aucune.
Figez chaque pièce dans son orientation publiée et demandez combien des 480
joints pourraient s'apparier. Couleur par couleur, les joints horizontaux
utilisent au plus la plus petite des offres tournées vers l'est et vers
l'ouest, et les joints verticaux la plus petite des offres nord et sud. La
somme plafonne à 307 sur 480. C'est une borne de comptage, pas un résultat
de recherche : aucun arrangement de pièces non tournées, où que ce soit sur le
plateau, ne peut la dépasser. Un pipeline qui fixe les orientations tôt
concède donc au moins 173 joints avant même de chercher, et 307 se situe très
en dessous de tous les hauts plateaux de la
page des records. Les deux nombres comptent ici les bords
appariés entre pièces adjacentes, pourtour extérieur exclu, la convention en
usage sur tout ce site.
Comptez les côtés de pièces par couleur. Chacune des 22 couleurs non grises a
un total pair, et les capacités d'appariement, la moitié du nombre de côtés
par couleur, somment à exactement 480, le nombre géométrique de joints du
plateau. L'offre est exactement suffisante pour un plateau parfait : aucune
couleur ne manque, ce qui certifierait l'impossibilité de la solution
construite, et aucune couleur n'est en excès, ce qui laisserait du jeu à
dépenser aux plateaux partiels. Aucun jeu signifie aussi aucun levier. Aucun
argument de comptage sur la seule offre de couleurs ne peut élaguer quoi que
ce soit, la difficulté loge donc entièrement dans quelles pièces portent
quelles couleurs, pas dans la quantité de chaque couleur. Ce que le
raisonnement d'offre produit de plus aiguisé est l'invariant
d'équilibre de bordure, et cette condition est
nécessaire, jamais suffisante.
Les 22 couleurs se divisent en 17 couleurs intérieures et 5 qui n'apparaissent
que sur les joints entre pièces de bordure. La séparation elle-même est
automatique : avec un pourtour gris massif, les bords colorés d'une pièce de
bordure ne rencontrent jamais que d'autres bords de bordure ou l'intérieur,
les deux réservoirs ne se mélangent donc jamais, comme l'explique la page de
géographie des couleurs rares. Ce qui a
été choisi, ce sont les comptes. La dérivation d'Owen l'année du lancement
retrouve 17,14 couleurs intérieures à partir de l'exigence d'environ une
solution attendue (msg 1947), le
plus rare qu'une solution puisse être tout en existant encore, et la page du
pic de difficulté mesure que c'est le pire
endroit possible pour une recherche. La recette reconstruite complète,
ingrédient par ingrédient, se trouve sur la page de la
recette de conception.
Une mesure de plus appartient à la thèse mais ne fait pas encore partie du
sujet versionné. Construisez le graphe dont les nœuds sont les 256 pièces,
pondéré par le nombre d'adjacences par rotation que chaque paire supporte, et
lisez son spectre. Le graphe se sépare proprement en exactement deux blocs,
les 60 pièces de cadre et les 196 pièces intérieures, et au-delà de cette
coupure il ne montre aucune structure de communauté à aucune échelle : pas de
cliques de pièces mutuellement compatibles, pas de sous-puzzle bon marché à
découper et résoudre d'abord. Le regroupement est à échelle unique, et la
seule frontière de grappe visible est la ligne cadre-intérieur que tout
solveur connaît déjà. Les chiffres spectraux derrière cette description sont
différés jusqu'à ce que leur calcul soit versionné aux côtés des cinq autres ;
lisez donc cet axe comme une description pour l'instant, et les cinq
précédents comme exacts.
Chaque axe ferme une porte standard.
- Réduction par symétrie. Rien à quotienter : les 1 024 pièces-rotations
sont toutes distinctes.
- Astuces de doublons. Aucun doublement gratuit des solutions : 5
quasi-coïncidences sur 32 640 appariements, aucune n'étant un vrai doublon.
- Raccourcis d'orientation. Fixer les rotations tôt concède 173 joints sur
480 par un argument de comptage, avant toute recherche.
- Arguments d'offre. Des budgets pairs et exactement suffisants : compter
les couleurs n'élague rien.
- Sous-communautés bon marché. Rien de plus tendre que la coupure
cadre-intérieur pour commencer.
Cette page est le pendant métrologique de deux voisines. La
recette de conception reconstruit, depuis les
archives de l'année du lancement, pourquoi le jeu a été bâti ainsi ; le
balayage de théorèmes rassemble les lois
prouvées sur le même objet. Et les extrêmes d'ici sont le rez-de-chaussée des
murs de la section : aucun coup forcé est la
même platitude ressentie cellule par cellule pendant une construction, et les
cycles sigma sont ce que l'absence de petits
échanges devient entre hauts plateaux finis. Pour savoir quelle méthode meurt
contre quel mur, la carte murs et méthodes
sert d'index.
Le répertoire du sujet contient un binaire Rust autonome qui charge l'instance
officielle embarquée (256 pièces, sans indices) et recalcule chaque nombre
ci-dessus : le recensement des orbites de rotation, les comptes de jumelles et
quasi-jumelles, le plafond d'appariement à orientation fixe, et la parité et
capacité d'appariement par couleur. L'exécution est déterministe, s'achève en
bien moins d'une seconde, imprime un unique document JSON, et sort avec un
code non nul si une valeur attendue échoue ; le fichier de résultats versionné
est identique octet pour octet d'une exécution à l'autre. Les identifiants de
pièces de la liste des jumelles suivent la numérotation de recherche du jeu.
Les deux nombres de type score de cette page, 307 et 480, comptent les bords
appariés entre pièces adjacentes pourtour extérieur exclu, la même convention
que la page des records ; rien ici ne note un plateau
candidat, et rien sur cette page n'est une revendication de record.