Cinq des 22 couleurs d'arêtes n'apparaissent sur aucune des 196 pièces
intérieures. Dans la numérotation standard, ce sont les couleurs 1 à 5 : les
couleurs de cadre. Chacune occupe exactement 24 demi-arêtes, toutes portées
par les 60 pièces de bord, soit une réserve totale de 120. La pureté de
l'anneau, c'est l'énoncé suivant : les données des pièces ne laissent aucun
choix à cette réserve. Toute solution valide dépense l'intégralité des 120
demi-arêtes sur les 120 emplacements de l'anneau du bord tournés vers
l'anneau lui-même, sans aucun jeu. Le bord est un sous-puzzle autonome, et
son seul contact avec l'intérieur passe par 56 arêtes tournées vers le
centre.
120 = 120
demande de l'anneau contre réserve de cadre, jeu nul
5 × 24
couleurs de cadre × demi-arêtes chacune
56
arêtes reliant l'anneau à l'intérieur
La preuve repose sur trois propriétés vérifiables en parcourant une seule
fois les 256 pièces. Aucune recherche, aucun échantillonnage.
Premièrement, les couleurs de cadre n'apparaissent que sur les pièces de
bord. Le vérificateur ne fait pas confiance aux étiquettes : il dérive
l'ensemble des couleurs de cadre depuis les données, comme les couleurs à
zéro occurrence sur les pièces intérieures, et en trouve exactement cinq.
Deuxièmement, chacune des 56 pièces d'arête porte exactement deux
emplacements de couleur de cadre et un emplacement hors cadre parmi ses trois
emplacements non nuls, et l'emplacement hors cadre se trouve à l'opposé de
l'emplacement gris. C'est le cas 56 fois sur 56.
Troisièmement, les deux emplacements non nuls de chaque pièce de coin sont de
couleur de cadre, et les deux emplacements gris sont adjacents. C'est le cas
4 fois sur 4.
Pour mémoire, le reste de la palette est aussi plat que la partie cadre :
parmi les 17 couleurs intérieures, 5 apparaissent 48 fois et 12 apparaissent
50 fois. Brendan Owen a mesuré exactement ces effectifs la semaine où il a
numérisé son jeu (msg 1054), et
la séparation stricte des deux palettes était une décision de conception
(msg 1947) ; la
page sur la recette de conception raconte
cette histoire.
Une pièce d'arête se pose sur le pourtour avec son emplacement gris tourné
vers l'extérieur ; l'emplacement opposé au gris regarde donc l'intérieur. Son
voisin de ce côté est une pièce intérieure, qui, par le premier fait, n'a
aucune couleur de cadre à offrir. L'emplacement tourné vers l'intérieur ne
peut donc pas porter une couleur de cadre. Par le deuxième fait, la pièce
d'arête possède exactement un emplacement hors cadre, et il se trouve
précisément à l'opposé du gris, c'est-à-dire à la position intérieure. Les
deux emplacements de cadre sont donc forcés sur les deux positions tournées
vers l'anneau, le long du pourtour. Les coins, par le troisième fait,
apportent leurs deux emplacements non nuls à l'anneau.
Comptons. Demande : 56×2+4×2=120 emplacements tournés
vers l'anneau. Réserve : 5×24=120 demi-arêtes de cadre. Les deux
nombres coïncident exactement. Chaque demi-arête de cadre est consommée sur
l'anneau, aucune ne reste, et aucune couleur hors cadre n'apparaît jamais sur
une jonction de l'anneau. C'est le sens de « sans aucun jeu » : le budget des
couleurs de cadre est dépensé jusqu'à la dernière demi-arête.
Cette saturation admet une lecture nette en théorie des graphes. Prenez un
multigraphe à 5 sommets, un par couleur de cadre, avec une arête par pièce de
bord, joignant ses deux couleurs tournées vers l'anneau. Un arrangement
valide de l'anneau du bord est exactement un circuit eulérien de ce
multigraphe : parcourir l'anneau, c'est lire un circuit fermé qui utilise
chaque arête-pièce une fois, et réciproquement.
Sur l'instance réelle, le multigraphe compte 60 arêtes, tous ses degrés
valent 24, et il est connexe : un circuit eulérien existe donc, comme il le
doit, puisqu'une solution complète existe. Parmi les 60 arêtes, 14 sont des
boucles (des pièces montrant la même couleur de cadre sur leurs deux
emplacements d'anneau), et les arêtes couvrent les 15 paires de couleurs
possibles, les 10 paires non ordonnées plus les 5 boucles.
Deux mesures de force accompagnent le théorème, une exacte et une
échantillonnée.
L'exacte est le branchement du premier pas. Fixez une pièce de bord posée ;
la pièce suivante le long de l'anneau doit s'accorder à la couleur de cadre
exposée. Parmi les pièces de bord, seules celles incidentes à cette couleur
conviennent : selon la couleur, 20, 21, 21, 22 ou 22 d'entre elles, moyenne
21,2, contre 59 candidates pour un ordre sans contrainte. L'accord de couleur
divise à lui seul le premier facteur de branchement par 2,78.
L'échantillonnée est une estimation par échantillonnage préférentiel
séquentiel sur 1000 constructions gloutonnes ensemencées de l'anneau. Le
log10 moyen de la probabilité d'un chemin achevé vaut -27,30 (écart-type
0,64) pour la graine 1 et -27,39 (écart-type 0,62) pour la graine 2, contre
une référence uniforme de log10(1/59!)=−80,14. Autrement dit : la loi
d'accord des couleurs concentre la masse de probabilité d'environ 53 ordres
de grandeur par rapport à un ordre uniforme des pièces de bord, tout en
laissant une rareté résiduelle proche de 10−27. Une marche gloutonne
purement guidée par les couleurs n'achève donc presque jamais un anneau :
8,7 % de complétions pour la graine 1, 9,3 % (graine 2, exécutée pour vérifier la cohérence ; le JSON archivé couvre la graine 1) pour la graine 2, la mesure
d'origine donnant 9,4 %. Les 87 constructions achevées de la graine 1 se sont
toutes refermées en circuit, extrémités concordantes, ce qui est la structure
eulérienne visible dans l'échantillon.
Le décompte exact des circuits eulériens non orientés du multigraphe réel de
l'anneau est ouvert. Un raccourci à orientation unique via le théorème BEST a
été tenté pendant l'étude d'origine, démasqué comme sous-décompte par un test
de contrôle sur K5, puis retiré ; aucun décompte de circuits n'est revendiqué
nulle part. La mesure de complétion gloutonne ignore par ailleurs
l'alternance géométrique coins/arêtes de l'anneau physique : elle mesure la
loi d'accord des couleurs isolément, pas la contrainte complète de l'anneau.
Le théorème découpe le puzzle le long du pourtour. Côté intérieur, les 56
pièces d'arête montrent chacune une couleur de la palette intérieure à 17
couleurs, et ces 56 arêtes constituent toute l'interface du bord avec les 196
pièces intérieures ; la comptabilité à travers cette couture est le sujet de
la page sur l'équilibre du bord. Le visage
visible de la même séparation, les cinq couleurs rares cantonnées au
pourtour, se trouve sur la
page de géographie des couleurs rares.
Et cette page est le récit détaillé d'une des lois du
balayage des théorèmes, aux côtés du reste de
la structure exacte de l'instance.
Chaque nombre ci-dessus est recalculé par le vérificateur versionné du sujet
de reproduction indiqué dans les sources : un programme Rust unique qui
charge l'instance officielle, dérive les couleurs de cadre depuis les
données, vérifie exhaustivement chaque clause du théorème, construit le
multigraphe de l'anneau, exécute les deux mesures Monte-Carlo ensemencées et
produit un fichier JSON (versionné sous results/ring_purity.json) contenant
tous les chiffres cités ici. Les clauses déterministes se reproduisent à
l'octet près ; les mesures échantillonnées concordent, à l'erreur
d'échantillonnage près, sur des graines indépendantes.