Un plateau quasi parfait ne répartit pas uniformément ses rares erreurs. Il les concentre dans une seule bande de cinq rangées et laisse tout le reste impeccable. Quelle bande ? Cela dépend de la direction dans laquelle la recherche a rempli le plateau, et l'on voit le reflet sur les vrais plateaux record.
Notez un plateau record arête par arête et un fait frappant apparaît : les
désaccords ne sont pas dispersés. Le 469 de McGavin place la totalité de ses
onze arêtes non appariées dans les cinq premières rangées (rangées 0 à 4) ;
les rangées 5 à 15 sont localement parfaites.
Le plateau est, de fait, une dalle impeccable de 11 rangées avec tous les dégâts
balayés contre une seule arête.
Notez maintenant de la même manière les meilleurs plateaux construits de zéro
de ce projet. Les dégâts se retrouvent là encore dans une bande de cinq
rangées, mais en bas. Les désaccords de KEYRING et de GAUNTLET siègent dans les
rangées 11 à 15, les rangées 0 à 10 restant parfaites. C'est la même image
retournée de haut en bas.
Choisissez un plateau. La bande ombrée indique où tombent réellement ses
désaccords, calculée en direct avec la règle de notation propre au moteur : les
plateaux de la communauté en haut, ceux de ce projet en bas.
▶Interactif : où les désaccords sont contraints de vivreExplorer →
11 bords non appariés — tous en rangées 0–4; toutes les autres rangées sont parfaites.
Calcul…
La bande ombrée est l'endroit où tombent réellement les défauts, surlignée sur le vrai plateau ; les barres les comptent par rangée. Changez de plateau : le tas de la communauté est en haut, celui de ce projet en bas — le même puzzle, des sens de balayage opposés.
Prendre du recul : la bande est une loi du corpus#
Deux plateaux pourraient n'être qu'une anecdote. Agrégeons donc. Prenez tous
les plateaux à haut score que ce projet a jamais archivés, soit 1 964
plateaux à 455 arêtes appariées ou mieux (convention des arêtes appariées ;
la page des records replace ces chiffres internes dans
leur contexte), et marquez chaque jointure selon sa fréquence d'échec. La
même image réapparaît sous forme de loi de fréquence. Les jointures qui
relient les rangées 11 à 14 à leurs voisines cassent dans environ 38 à
49 % de tous les plateaux. La jointure la plus fragile de tout le plateau se
trouve en rangée 12, colonne 2, brisée dans 49,4 % des cas ; les quatre
suivantes (47,5 %, 47,3 %, 46,3 %, 46,0 %) appartiennent elles aussi à la
rangée 12, et les vingt jointures les plus souvent brisées se situent toutes
dans les rangées 11 à 13. Ce sont des décomptes exacts sur le corpus
archivé, pas des échantillons.
Une mise en garde, qui est en réalité le constat lui-même : chacun de ces
1 964 plateaux est sorti du pipeline propre à ce projet, qui remplit de haut
en bas. La carte de chaleur n'est pas une propriété du puzzle ; c'est la
signature du pipeline, écrite 1 964 fois. Un remplissage descendant dépense
son budget de conflits en chemin, l'ensemble de contraintes devient trop
tendu autour de la rangée 12, et cette couture craque dans la moitié des
exécutions. Un solveur avec un autre ordre de remplissage déplacerait la
couture, ce que montrent précisément les plateaux de la communauté dans la
figure ci-dessus.
Le basculement n'est pas une coïncidence ; c'est l'empreinte de la manière dont
chaque plateau a été construit. Une recherche qui remplit le plateau du bas vers
le haut dépense tôt ses placements parfaits, en bas, et se voit contrainte
d'absorber tous les conflits accumulés dans les dernières rangées qu'elle
atteint : le haut. Une recherche qui remplit du haut vers le bas fait
exactement l'inverse et entasse les dégâts en bas. Les désaccords finissent
toujours agglutinés contre l'arête sur laquelle le solveur a terminé. Même
puzzle, même type de plateau, ordre de construction opposé.
Une nuance que le récit à deux solveurs dissimule : la bascule se joue par
exécution, pas par outil. Au sein même de la production de ce projet
coexistent deux familles de plateaux quasi record à géométrie inversée. Dans
l'une (meilleur plateau à 458 arêtes appariées, un ancien meilleur score
interne ; voir la page des records pour le contexte),
tous les désaccords intérieurs occupent les cinq dernières rangées de
l'intérieur et les neuf premières rangées intérieures sont parfaites. Dans
l'autre (meilleur à 457), les vingt désaccords intérieurs occupent tous les
rangées 1 à 4, les rangées 5 à 14 restant parfaites. Les meilleurs plateaux
des deux familles ne partagent que 7 placements sur 256 (2,7 %) : ce sont
des plateaux presque disjoints, pas deux arrangements d'un même cadre. Et
les deux sont localement figés ; la programmation en nombres entiers exacte,
appliquée à chaque amas de dégâts jusqu'à une trentaine de cellules,
n'améliore ni l'un ni l'autre d'une seule arête. Ce sont des familles que
nous avons échantillonnées, quelques plateaux chacune : la partition
elle-même est une observation, pas un recensement. Mais elle adoucit le
récit : l'ordre de balayage est la force dominante, et pourtant ce qui fixe
réellement la bande, c'est la trajectoire de l'exécution individuelle, le
bassin dans lequel elle est tombée. Même pipeline, bandes opposées.
Le motif n'est pas un artefact de notre façon de noter. Certains solveurs
optimisent tout autre chose : non pas les arêtes appariées sur un plateau
complet, mais le plus grand nombre de pièces plaçables sans aucun conflit,
quitte à laisser des trous plutôt que des désaccords. Poursuivez cet objectif
et les trous atterrissent au même endroit. Le plateau « Only seven holes » de
Louis Verhaard place 249 des 256 pièces sans conflit, et les sept trous
siègent tous dans les rangées 1 à 4, la bande du haut encore une fois. Laurent
Zamofing, atteignant un plafond similaire en 2026 en recombinant les plateaux
record de la communauté, a relevé la même chose : « le résidu non résolu tombe
toujours dans cette bande du haut »
(msg 11901). Deux objectifs qui
ne partagent rien d'autre que le puzzle, et les dégâts résiduels se rassemblent
contre la même arête. C'est l'ordre de construction, et non la règle de
notation, qui décide où se loge la difficulté. (Davantage sur cette variante sur
la page des variantes.)
Les dégâts ont une forme constante, pas seulement un lieu constant. Sur
chaque plateau quasi record que nous avons profilé, le graphe des arêtes en
désaccord est une forêt : il ne referme jamais de boucle. Et à mesure que
les plateaux s'améliorent, les dégâts se fragmentent. Les plateaux
intermédiaires, entre 444 et 447 (arêtes appariées), portent 24 à 26
désaccords répartis en cinq à dix amas, le plus grand couvrant 13 à 15
cellules. Trois plateaux à 458, trouvés indépendamment, partagent une
empreinte identique : 17 désaccords en deux amas seulement, le plus grand de
25 cellules ; très probablement un même bassin trouvé trois fois. Un plateau
à 459 se scinde en quatre petits amas, le plus grand de 10 cellules à peine.
Les meilleurs plateaux portent un résidu plus petit et plus dispersé. Cela
suggère une conjecture, et rien de plus : l'amélioration procéderait en
fragmentant les dégâts jusqu'à ce que chaque fragment soit assez petit pour
être réparé localement.
La concentration elle-même se mesure. Comprimez la densité de désaccords par
cellule avec une transformée de Fourier bidimensionnelle en ne gardant que
1 % des coefficients : des dégâts bien concentrés se reconstruisent avec une
faible erreur, des dégâts dispersés non. Sur cette échelle, un plateau à 457
en particulier est plus concentré (erreur de reconstruction 0,145) que les
trois plateaux à 458 (0,236 chacun, identiques : le même bassin, encore) et
fait quasiment jeu égal avec le 459 (0,148), tandis que les plateaux
intermédiaires se situent entre 0,32 et 0,34. Le corpus est petit (une
dizaine de plateaux), mais deux mesures structurelles indépendantes
confirment le classement, et cela suggère une hypothèse à garder en tête :
la qualité structurelle serait un axe en partie orthogonal au score brut. Un
457 peut être plus proche de la forme d'un record qu'un 458.
Répartissez les 480 jointures d'un plateau en trois classes : 60 jointures
bordure-bordure le long de l'anneau, 56 jointures où l'anneau rencontre
l'intérieur, et 364 jointures intérieur-intérieur. Comparez le 469 de
McGavin avec un plateau de ce projet monté à 444 arêtes appariées sur une
bordure équivalente : la décomposition raconte deux fois la même histoire.
Tous deux réalisent un 60 sur 60 parfait sur l'anneau et 55 sur 56 sur la
couture. La totalité de l'écart de 25 arêtes est intérieur-intérieur, 354
sur 364 contre 329 sur 364. (Deux plateaux seulement : lisez ceci comme une
illustration de la décomposition, pas comme une loi du corpus.) Les cinq
couleurs réservées au cadre forment un cycle autonome que toute recherche
compétente sature ; les dix-sept couleurs intérieures sont là où mord la
rareté.
Une sonde plus tranchante suggère que la bordure ne porte même pas
l'information. Gelez uniquement la bordure du meilleur plateau de ce projet
et laissez un remplissage glouton compléter l'intérieur : il n'atteint que
204 à 209 arêtes appariées, la même plage qu'une bordure valide aléatoire
(202 à 214). Gelez plutôt les rangées du haut et le remplissage grimpe
régulièrement : 209 sans rien geler, 258 avec quatre rangées, 334 avec huit,
364 avec dix, 406 avec douze, 424 avec treize, et le score complet avec les
seize. Une seule politique de complétion gloutonne a été utilisée ; traitez
donc cela comme une sonde, pas comme une loi. Mais sous ce remplissage,
l'identité d'un grand plateau vit dans le squelette intérieur de sa douzaine
de premières rangées, pas dans son cadre.
La bande du bas n'est pas seulement là où les plateaux de ce projet cassent ;
c'est là où ils divergent entre eux. Sur 421 plateaux complets à 455 arêtes
appariées ou mieux (tous issus, là encore, d'une même famille de pipeline),
comptez combien d'arrangements distincts chaque rangée présente à travers le
corpus. Les rangées 0 à 11 affichent chacune 39 à 63 arrangements distincts,
soit environ 9 à 15 % de plateaux uniques dans cette rangée. Les rangées 12
à 15 bondissent à 131 ou 132 chacune, environ 31 % : trois fois plus de
diversité. Les rangées où vivent les désaccords sont aussi celles où les
plateaux quasi record diffèrent le plus les uns des autres.
Zoomez sur quatre plateaux distincts atteignant tous 459 arêtes appariées et
la même partition apparaît cellule par cellule. Seules 3 des 256 cellules
sont identiques sur les quatre (les deux coins supérieurs plus une cellule
de l'anneau de bordure) ; 212 cellules basculent entre exactement deux
placements ; et les 24 cellules qui diffèrent sur les quatre plateaux se
logent entièrement dans les rangées 13 à 15 (neuf, dix et cinq cellules ;
aucune dans les rangées 0 à 12). Dans les quatre plateaux de score égal que
nous avons comparés, toute la variation véritable vit dans la bande des
dégâts. Un contraste mérite une phrase : le réarrangement qui sépare l'un de
ces plateaux du 469 de McGavin s'étend sur tout l'intérieur de façon à peu
près uniforme, quatre à neuf cellules dans chaque rangée de 1 à 14. Passer
d'un plateau à un autre de même score est un remaniement de la bande du
bas ; passer à un plateau réellement meilleur exige de reconstruire partout
(la page des cycles sigma rend cela précis).
Le mécanisme derrière la diversité est le même que derrière les dégâts : les
dernières rangées remplies absorbent à la fois les conflits accumulés et la
liberté accumulée. Tout ce qui est en amont est squelette ; la bande du bas
est là où les complétions distinctes à haut score bifurquent.
C'est la forme visible de deux faits plus profonds. D'abord, les grands plateaux
sont réellement quasi complets : l'écart jusqu'à 480 est concentré, non
diffus, ce qui explique pourquoi la programmation en nombres entiers les trouve
localement figés partout, sauf dans cette unique bande (le mur de rigidité).
Ensuite, cela dit que la fin de partie est toute la partie : les rangées que
vous remplissez en dernier sont celles où le puzzle vous fait payer, si bien que
l'ordre dans lequel vous cherchez décide où atterrit la difficulté. C'est la
même leçon que la course de chemins de l'espace de jeu vous fait ressentir, ici
inscrite dans la structure de chaque plateau record.
Deux sondes rendent ces deux faits concrets. La première : un ancien
meilleur plateau de ce projet à 459 arêtes appariées montre le motif sous sa
forme la plus pure. Ses 21 désaccords siègent tous dans les rangées 12 à 15,
les 192 cellules des rangées 0 à 11 sont parfaites, et les défauts forment
une unique région connexe sur les quatre dernières rangées. Le remède
évident consiste à épingler les douze rangées parfaites et à ne rechercher
que le bas. Cette recherche meurt en quelques millisecondes, vers la
profondeur 211 : étant donné ces engagements du haut, 459 est l'optimum. (Un
seul plateau, une seule configuration de recherche ; l'épuisement, lui, est
exact.) La région parfaite n'est pas une réserve en attente. Elle est
dépensée : chaque degré de liberté en amont a été consommé pour la rendre
parfaite, ce qui explique pourquoi la bande résiduelle ne peut pas être
réparée sur place, et pourquoi améliorer ce plateau a fini par exiger des
mouvements de destruction-réparation traversant tout le plateau.
La seconde sonde est le test miroir sur le 469 de McGavin, dont les dégâts
se cachent en haut. Épinglez ses 14 rangées du haut et laissez une recherche
de destruction-réparation recompléter le bas : elle reconstruit le 469
entier. Épinglez ses 14 rangées du bas et recomplétez le haut : elle
n'atteint que 462, sans seuil net en chemin (443, 453, 454, 462 à mesure que
le bloc épinglé passe de onze à quatorze rangées). Et épingler quinze
rangées du bas fait pire (460) que quatorze, car geler davantage le plateau
supprime le jeu dont la recherche avait besoin pour absorber le haut
difficile. C'était une sonde rapide à configuration unique (une graine,
soixante secondes de réparation par point) : tenez les chiffres exacts avec
prudence ; la direction de l'asymétrie, elle, avait été prédite avant
l'exécution et confirmée par elle. La lecture : la bande où vivent les
désaccords est exactement la partie du plateau qui le définit, et le reste
s'en déduit. Pour cette famille de plateaux, l'écart au-dessus de 469 se lit
comme un problème des cinq rangées du haut (une interprétation, pas un
théorème). La bande que votre recherche garde pour la fin n'est pas
seulement là où vous payez ; c'est là que se fait le travail irremplaçable.
Les décomptes par rangée et la bande surlignée sont calculés dans votre
navigateur à partir des vraies arêtes du plateau (la même règle de notation
que celle du moteur), et non placés à la main. Le constat sous-jacent et
l'explication par l'ordre de balayage sont consignés dans le carnet de
laboratoire du projet.