Théorie

Un argument de comptage sur le jeu de pièces officiel interdit un score d'exactement 479/480 : les demi-arêtes de chaque couleur viennent en nombre pair, et un unique raccord cassé laisserait deux comptes impairs. Le plancher sous le parfait est 478, et au plus 76 quasi-solutions à un coup peuvent entourer une solution.

Chaque plateau record dont nous disposons est figé sur place. Impossible de progresser par petites retouches d'un excellent plateau vers un plateau parfait, et nous pouvons le démontrer.

Eternity II a deux règles : les bords doivent coïncider, et chaque pièce ne sert qu'une fois. La première est généreuse. Toute la difficulté tient dans la seconde.

Presque tout petit assemblage de pièces que l'on pourrait construire est impossible. Pour un carré 2×2, 99,72 % des façons de placer quatre pièces ne pourront jamais s'accorder.

Cinq des 22 couleurs ne touchent jamais les 196 pièces intérieures. La liste des pièces force toute solution valide à dépenser les 120 demi-arêtes de cadre sur l'anneau du bord : un sous-puzzle autonome à jeu exactement nul (120 = 120), un circuit eulérien sur cinq sommets, relié à l'intérieur par seulement 56 arêtes tournées vers le centre.

Pondérez chaque couleur d'arête et lisez chaque pièce comme un vecteur signé, est moins ouest sur un axe, sud moins nord sur l'autre. Sommé sur une région quelconque, les coutures intérieures s'annulent et seule la bordure survit, si bien que le plateau totalise zéro. Un quart de tour pivote le vecteur d'un angle droit, ce qui fait de la loi une algèbre dans les entiers de Gauss.

Si l'on ne peut pas améliorer un excellent plateau en le peaufinant, peut-être peut-on sauter vers un autre excellent plateau. Sur chaque paire de records testée, c'est impossible, et la raison structurelle mérite qu'on la voie.

Empruntez l'astuce du physicien qui rend les défauts cristallins solubles et tentez de transformer un joint dépareillé en dislocation dotée d'une charge conservée. Cela échoue de trois façons : une hauteur scalaire est aveugle aux ruptures, l'ensemble des ruptures forme des chaînes ouvertes et non des boucles fermées, et le courant orienté par couleur n'est pas conservé. Seul un bit de parité non signé survit.

Remplissez un plateau dans un ordre fixe et les trois quarts du haut se posent librement, tandis que la difficulté s'entasse dans la bande que vous terminez en dernier. Sur quarante plateaux générés, tout le reste tombe dans la moitié basse à chaque fois ; mélangez l'ordre de remplissage et il se disperse, donc la région difficile est fabriquée par le balayage, pas cachée dans le plateau.

Sommez, pour n'importe quel ordre de visite du plateau 16x16, le nombre de voisins déjà posés que chaque case affronte à l'instant où elle est remplie : le total vaut exactement 480, quel que soit l'ordre. Un ordre de remplissage ne peut pas ajouter de restriction ; il choisit seulement quand chaque restriction s'applique. Ce qui sépare les ordres, c'est l'immédiateté, la distance entre une décision et sa réfutation, et seuls les extrêmes de ce classement appartiennent au puzzle plutôt qu'au moteur.

Lisez un plateau complet comme un mot de code dont les 480 jointures intérieures sont des contrôles de type parité, et le score d'arêtes appariées devient 480 moins le nombre de contrôles en échec. C'est une lentille nette reposant sur une seule identité porteuse, et il vaut la peine d'être précis sur ce que la vue par codes correcteurs apporte et sur ce qu'elle ne fait que renommer.

L'anneau de bordure est la partie la plus contrainte du casse-tête ; une bordure forte différente devrait donc fixer un intérieur haut différent. Il n'en est rien. De nombreuses bordures entièrement appariées et distinctes, chacune complétée par un même producteur d'intérieur fixe, donnent des sommets quasi maximalement différents les uns des autres mais uniformément bas, aucun près de la zone record. La bordure diversifie le plateau sans en prédire le plafond.

Un plateau résolu dissimule une loi comptable toute simple : chaque couleur que le bord tend vers l'intérieur, l'intérieur la lui rend aussitôt. La violer, c'est savoir sur-le-champ que le plateau est faux ; la respecter, en revanche, ne garantit rien.

Un seul arc de recherche, treize familles de théorèmes structurels : pureté de l'anneau, le plancher de parité à 479, le mur des 470 comme frontière de phase, les invariants de flux, la loi d'aire entropique, et les résultats d'impossibilité qui chiffrent chaque raccourci classique. Cette page est la carte.