Teoría

Un argumento de conteo sobre el juego de piezas oficial prohíbe una puntuación de exactamente 479/480: las semiaristas de cada color vienen en cantidades pares, y una sola unión rota dejaría dos cuentas impares. El suelo bajo lo perfecto es 478, y a lo sumo 76 cuasi-soluciones a un movimiento pueden rodear una solución.

Cada tablero récord que tenemos está congelado en su sitio. No se puede progresar a base de pequeños retoques desde un tablero excelente hacia uno perfecto, y podemos demostrarlo.

Eternity II tiene dos reglas: los bordes deben coincidir y cada pieza se usa una sola vez. La primera es generosa. Toda la dificultad reside en la segunda.

Casi todo pequeño conjunto de piezas que podrías construir es imposible. Para un cuadrado 2×2, el 99,72 % de las formas de colocar cuatro piezas nunca podrá encajar.

Cinco de los 22 colores nunca tocan las 196 piezas interiores. La lista de piezas obliga a toda solución válida a gastar las 120 semiaristas de marco en el anillo del borde: un subpuzle autónomo con holgura exactamente nula (120 = 120), un circuito euleriano sobre cinco vértices, acoplado al interior solo por 56 aristas orientadas hacia dentro.

Pondere cada color de arista y lea cada pieza como un vector con signo, este menos oeste en un eje, sur menos norte en el otro. Sumado sobre cualquier región, las costuras interiores se cancelan y solo sobrevive el borde, de modo que el tablero totaliza cero. Un cuarto de vuelta gira el vector un ángulo recto, lo que vuelve la ley álgebra en los enteros de Gauss.

Si no puedes mejorar un tablero excelente puliéndolo, quizá puedas saltar a otro tablero excelente. En cada par de récords probado, no puedes, y vale la pena ver la razón estructural que lo explica.

Toma el truco del físico que vuelve solubles los defectos cristalinos e intenta convertir un empalme mal casado en una dislocación con una carga conservada. Fracasa de tres maneras: una altura escalar es ciega a las roturas, el conjunto de roturas forma cadenas abiertas y no bucles cerrados, y la corriente orientada por color no se conserva. Solo sobrevive un bit de paridad sin signo.

Rellena un tablero en cualquier orden fijo y los tres cuartos de arriba entran con soltura, mientras la dificultad se amontona en la banda que terminas al final. En cuarenta tableros generados, todo lo que sobra cae en la mitad inferior cada vez; baraja el orden de relleno y se dispersa, así que la región difícil la fabrica el barrido, no está escondida en el tablero.

Sume, para cualquier orden de visita del tablero 16x16, el número de vecinos ya colocados que cada celda enfrenta en el instante en que se rellena: el total es exactamente 480, sea cual sea el orden. Un orden de llenado no puede añadir restricción; solo elige cuándo se aplica cada una. Lo que separa a los órdenes es la inmediatez, la distancia entre una decisión y su refutación, y solo los extremos de esa clasificación pertenecen al puzzle y no al motor.

Lee un tablero completo como una palabra de código cuyas 480 junturas interiores son comprobaciones de tipo paridad, y el score de aristas emparejadas pasa a ser 480 menos el número de comprobaciones fallidas. Es una lente limpia que descansa sobre una sola identidad portante, y conviene ser preciso sobre lo que la vista de códigos correctores aporta y lo que solo renombra.

El anillo del borde es la parte más restringida del rompecabezas, así que un borde fuerte distinto debería fijar un interior alto distinto. No lo hace. Muchos bordes completamente emparejados y distintos, cada uno completado por un mismo productor de interior fijo, dan cimas casi máximamente distintas entre sí pero uniformemente bajas, ninguna cerca de la franja récord. El borde diversifica el tablero sin predecir su techo.

Un tablero resuelto esconde una sencilla ley contable: cada color que el borde entrega al interior, el interior se lo devuelve al instante. Rómpela y sabrás de inmediato que el tablero es incorrecto; respetarla, en cambio, no garantiza nada.

Un solo arco de investigación, trece familias de teoremas estructurales: pureza del anillo, el suelo de paridad en 479, el muro de 470 como frontera de fase, los invariantes de flujo, la ley de área entrópica, y los resultados de imposibilidad que ponen precio a cada atajo clásico. Esta página es el mapa.